Задачка по теории вероятности

[cyber222]

На окружности выбираются 3 случайных точки. Какова вероятность того, что центр окружности лежит внутри треугольника, образованного этими точками?

Я знаю ответ, он равен $3/4$.
Однако, в моем решении получается ответ $1/4$.
Я рассуждаю так. Пусть мы кидаем на окружность с единичным радиусом три точки $A, B, C$. От выбора точки $A$ ничего не зависит, поэтому ее можно поместить в самый верх окр-ти, в точку с координатами $(0, 1)$. Для того, чтобы точка $O$ была внутри треугольника, необходимо, чтобы точки $B$ и $C$ лежали в разных полуокружностях(правой/левой), т.е $x_B x_C < 0$. Вероятность этого $1/2$. После этого, необходимо, чтобы отрезок $BC$ был ниже точки $O$, то есть $y_B + y_C < 0$. Вероятность этого тоже равна $1/2$(геометрическая вероятность). Получается $1/2 \cdot 1/2=1/4$. В чем я ошибся?

[venco]

Вот в этом:

cyber222 в сообщении #1112745 писал(а):

Я знаю ответ, он равен $3/4$.

[Aritaborian]

Верен именно ответ $\frac14$. Откуда вы взяли ответ $\frac34$?

[ET]

У обратной задачи (у которой ответ таки $\frac34$) есть очень красивое решение :
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php ... 66#p254766
Так что тут ответ таки $\frac14$

[cyber222]

Геометрическое решение этой задачи с ответом $3/4$ я нашел здесь.
https://www.coursera.org/learn/probability-theory-basics/lecture/nolDQ/zadacha-o-triekh-sluchainykh-tochkakh-na-okruzhnosti

[--mS--]

cyber222 в сообщении #1112745 писал(а):

В чем я ошибся?

Например, в том, что $x_B$ и $y_B$ не являются независимыми, как и $x_C$ и $y_C$. Поэтому правильный ответ получился чисто случайно. Заранее нет никаких причин перемножать вероятности событий $\{x_Bx_C<0\}$ и $\{y_B+y_C<0\}$.

-- Чт апр 07, 2016 08:36:12 --

cyber222 в сообщении #1112783 писал(а):

Геометрическое решение этой задачи с ответом $3/4$ я нашел здесь.

Если прочитать или послушать решение, то объяснение очевидно - в процессе автор просто забыл, какую вероятность искал.

[melnikoff]

Пусть 2-я точка упала на окружность на расстоянии $x$ по часовой стрелке от 1-й точки, то есть вторая точка попала в интервал $(x; x+dx)$.
Тогда вероятность того, что 3-я точка упадет таким образом, что все три точки не будут лежать на одной полуокружности, равна
$P_3 (x)=\begin{cases} \frac{x}{2\pi R}, 0\leqslant x<\pi R\\ \frac{2\pi R-x}{2\pi R}, \pi R\leqslant x<2\pi R \end{cases}$.
$P(\text{Три точки не упали на одну полуокружность})=\int\limits_0^{2\pi R}P_3(x)\frac{dx}{2\pi R}=\\=\int\limits_0^{\pi R}\frac{x}{2\pi R}\frac{dx}{2\pi R}+\int\limits_{\pi R}^{2\pi R}\frac{2\pi R-x}{2\pi R}\frac{dx}{2\pi R}=\frac{1}{4}.$

[provincialka]

Ну уж! Сразу интеграл... Можно просто нарисовать допустимую область в координатах, соотв. положению точек $B$ и $C$.

[melnikoff]

provincialka, зачем?

[provincialka]

А интеграл зачем? Там два треугольника прямоугольных, площадь видна без подсчётов.

[melnikoff]

provincialka, чет не могу сообразить что вы имеете в виду...

[provincialka]

Введём на окружности координату $x$,скажем, меняющуюся от $-\pi$ до $\pi$. Ноль соответствует точке $A$. Тогда точки $B$ и $C$ будут иметь координаты $x$ и $y$, причем пара $(x,y)$ будет пробегать квадрат, все точки которого равновероятны.
Осталось нарисовать область "допустимых" точек. Она достаточно простая.

[cyber222]

--mS-- в сообщении #1112942 писал(а):

cyber222 в сообщении #1112745 писал(а):

В чем я ошибся?

Например, в том, что $x_B$ и $y_B$ не являются независимыми, как и $x_C$ и $y_C$. Поэтому правильный ответ получился чисто случайно. Заранее нет никаких причин перемножать вероятности событий $\{x_Bx_C<0\}$ и $\{y_B+y_C<0\}$.

-- Чт апр 07, 2016 08:36:12 --

cyber222 в сообщении #1112783 писал(а):

Геометрическое решение этой задачи с ответом $3/4$ я нашел здесь.

Если прочитать или послушать решение, то объяснение очевидно - в процессе автор просто забыл, какую вероятность искал.

Да, я сглупил и не посмотрел, что же именно автор искал.
Спасибо большое всем за помощь.