Компактность множества решений системы

[dsge]

Замыкание компактно для относительной компактности. Но вам это не надо, поскольку ограничения для $u$ содержат знак меньше или равно.

[1r0pb]

dsge, да, легко запутаться, занимаясь самостоятельно, в понятиях функционального анализа без прослушивания соответствующего курса...
Теперь обещанные вопросы:
1. Сильно поменяется ситуация, если принять $u\in {L}_{2}[0,T]$ ?
2. А если к этому добавить нелинейность системы? (тут, думается, большие проблемы в общем случае (: )
3. Может есть ходовые методы опровержения компактности, то есть, насколько мне известно, построение соответствующей последовательности, например.

[dsge]

Я давно этим не занимался и с ходу могу ошибиться.

1r0pb в сообщении #1111538 писал(а):

1. Сильно поменяется ситуация, если принять $u\in {L}_{2}[0,T]$ ?

В этом случае компактность должна быть в ${L}_{2}[0,T]$, значит, скорее, надо будет переходить к обобщенным производным и рассматривать Соболевское пространство $H_2^1 [0,T]$, которое вкладывается в ${L}_{2}[0,T]$ компактно.

1r0pb в сообщении #1111538 писал(а):

2. А если к этому добавить нелинейность системы? (тут, думается, большие проблемы в общем случае (: )

Нелинейности не испортят ситуации, если они позволяют решению существовать на $[0,T]$ ; интегральные операторы обычно сглаживают функции, т.е., вольно выражаясь, переводят ограниченные множества в компактные.

1r0pb в сообщении #1111538 писал(а):

3. Может есть ходовые методы опровержения компактности, то есть, насколько мне известно, построение соответствующей последовательности, например.

Обычно пытаются делать наоборот - доказывают компактность. Опровергнуть компактность - это опровергнуть одно из условий в её определении.

[1r0pb]

dsge, да, предстоит много разбирательств. Спасибо Вам!

[1r0pb]

dsge, появился такой вопрос.
Имеем нелинейное интегральное уравнение
$x(t)=\int_{0}^{t}{f}_{1}(x(s))ds+\int_{0}^{t}{f}_{2}(x(s))u(s)ds.$
Т.е. ядро(${f}_{2}(x(s))$) зависит от траектории. Это есть плохо для доказательства компактности?
Что с ним можно сделать? Разложить в ряд по ортонормированному базису?
Спасибо.

[dsge]

1r0pb в сообщении #1112083 писал(а):

Это есть плохо для доказательства компактности?

Не очень, если нелинейности "хорошие", липшетцевы например.
Самое простое это сначала доказать существование решений в С, с помощью какой-нибудь теоремы о неподвижной точке, если отображение окажется сжимающим, то совсем хорошо. А потом показать, что на самом деле решения ограничены в С-один.

[1r0pb]

dsge в сообщении #1112113 писал(а):

1r0pb в сообщении #1112083 писал(а):

Это есть плохо для доказательства компактности?

Не очень, если нелинейности "хорошие", липшетцевы например.

Такой вариант устроит.

Цитата:

Самое простое это сначала доказать существование решений в С, с помощью какой-нибудь теоремы о неподвижной точке, если отображение окажется сжимающим, то совсем хорошо.

Буду пробовать.

Цитата:

А потом показать, что на самом деле решения ограничены в С-один.

А почему из ограниченности решений следует компактность?

P.S. пошел смотреть у Краснова.

[1r0pb]

Определим оператор
$Ax=\int_{0}^{t}{f}_{1}(x(s))ds+\int_{0}^{t}{f}_{2}(x(s))u(s)ds,\ u\in {L}_{2},\ t\in [0,T],$
где $|{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|\leq{k}_{1}|{x}_{2}-{x}_{1}|,\ |{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})|\leq{k}_{2}|{x}_{2}-{x}_{1}|,\ 0<{k}_{1},{k}_{2}<1.$
Тогда
$|A{x}_{2}-A{x}_{1}|\leq \int_{0}^{t}|{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|ds+\int_{0}^{t}|{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})||u(s)|ds\leq\\ \leq \int_{0}^{T}|{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|ds+\int_{0}^{T}|{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})||u(s)|ds\leq \\ \leq T\max |{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|+{(\int_{0}^{T}{|{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})|}^{2}ds)}^{1/2}{(\int_{0}^{T}{u}^{2}ds)}^{1/2}\leq \\ \leq T\max |{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|+\sqrt{T\max {|{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})|}^{2}}C\leq \\ \leq T{k}_{1}\max |{x}_{2}-{x}_{1}|+\sqrt{T}{k}_{2}\max |{x}_{2}-{x}_{1}|C=(T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C)\max |{x}_{2}-{x}_{1}|\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ \rho (A{x}_{1},A{x}_{2})\leq (T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C)\rho ({x}_{1},{x}_{2}).$
Таким образом, хоть и сильно искусственно (:, при $T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C<1$ получаем оператор сжатия.
dsge, пока верно?

[dsge]

Да, если вам нужна компактность в С.
Сжатие не обязано быть на всем интервале $[0,T]$, может быть и на меньшем, т.е. обычно по константе Липшитца подбирается интервал $[0,t]$, где оператор является сжимающим, а потом решение аналогично продолжается дальше. Это значит, что нет необходимости специально ограничивать константы Липшитца таким путем $T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C<1$.
Для отображений с ограниченной константой Липшитца решение можно так продолжить до бесконечности, т.е. $T = \infty$.

[1r0pb]

dsge,
я по ошибке написал ограничение на константы Липшица.

dsge в сообщении #1112444 писал(а):

Да, если вам нужна компактность в С.

Ну я так посмотрел... в случае гильбертова пространства тоже проходит. Так ведь?

Цитата:

Сжатие не обязано быть на всем интервале $[0,T]$, может быть и на меньшем, т.е. обычно по константе Липшитца подбирается интервал $[0,t]$, где оператор является сжимающим, а потом решение аналогично продолжается дальше. Это значит, что нет необходимости специально ограничивать константы Липшитца таким путем $T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C<1$.
Для отображений с ограниченной константой Липшитца решение можно так продолжить до бесконечности, т.е. $T = \infty$.

Хорошо. Спасибо за объяснение.

А что делать теперь?
Ну хорошо, сжимающее, а как прийти к компактности?

[dsge]

Теперь у вас есть решение $x(t)$, как непрерывная функция. Липшитцева функция от непрерывной тоже будет непрерывной. Интегралы от непрерывной функции и от интегрируемой функции будут абсолютно непрерывными функциями, их сумма также будет абсолютно непрерывной.
Осталось показать, что для всех $u(t)$, решения $x_u(t)$ будут ограничены в С. Тогда попадаем под т. Асколи.

[1r0pb]

dsge в сообщении #1112484 писал(а):

Теперь у вас есть решение $x(t)$, как непрерывная функция. Липшитцева функция от непрерывной тоже будет непрерывной. Интегралы от непрерывной функции и от интегрируемой функции будут абсолютно непрерывными функциями, их сумма также будет абсолютно непрерывной.
Осталось показать, что для всех $u(t)$, решения $x_u(t)$ будут ограничены в С. Тогда попадаем под т. Асколи.

Тут все понял.

dsge,
А зачем нам знать про существование решения?
+
А если мы знаем, что решение существует, но не можем гарантировать единственность, то что в этом случае?

[dsge]

1r0pb в сообщении #1112500 писал(а):

А зачем нам знать про существование решения?

Название топика "Re: Компактность множества решений системы". Если нет желания разглагольствовать на тему "компактно ли пустое множество?", то лучше иметь дело с ситуацией, когда решения существуют.

1r0pb в сообщении #1112500 писал(а):

А если мы знаем, что решение существует, но не можем гарантировать единственность, то что в этом случае?

Компактность не пострадает, если каждое из неединственных решений будет непрерывным.

[1r0pb]

dsge в сообщении #1112506 писал(а):

1r0pb в сообщении #1112500 писал(а):

А зачем нам знать про существование решения?

Название топика "Re: Компактность множества решений системы". Если нет желания разглагольствовать на тему "компактно ли пустое множество?", то лучше иметь дело с ситуацией, когда решения существуют.

И правда.

Цитата:

Компактность не пострадает, если каждое из неединственных решений будет непрерывным (или даже интегрируемым).

А как это строго показать?

[dsge]

1r0pb в сообщении #1112519 писал(а):

А как это строго показать?

Есть простой результат - у компактного нелинейного оператора множество неподвижных точек компактно.