Условная независимость 3 событий относительно 4-ого.

[Guliashik]

Есть 3 события(A, B, C) которые попарно условно независимы относительно 4-ого (D).
То есть $P(AB|D)=P(A|D)P(B|D)$; $P(AC|D)=P(A|D)P(C|D)$; $P(BC|D)=P(B|D)P(C|D)$
Требуется показать, что $P(A|BCD)=P(A|D)$.
Для случая двух событий показать несложно $P(A|BD)=\frac{P(ABD)}{P(BD)}=\frac{P(AB|D)P(D)}{P(B|D)P(D)}=\frac{P(A|D)P(B|D)}{P(B|D)}=P(A|D)$
А какие выкладки должны быть для 3-х и более событий?

[arseniiv]

Это вам пригодилась бы независимость в совокупности, в которую в данном случае входит ещё и условие $\Prob(A\cap B\cap C\mid D) = \Prob(A\mid D)\Prob(B\mid D)\Prob(C\mid D)$.

-- Пн апр 04, 2016 21:07:10 --

Посмотрите эту главу, пример Бернштейна, и примите $D = \Omega$. Тогда $\Prob(A\mid B\cap C\cap D) = \Prob(A\mid B\cap C) = 1$, в то время как $\Prob(A\mid D) = \Prob(A) = \frac12$.

[Guliashik]

arseniiv, спасибо.
Я неверно понял эти строчки из wiki получается - "Теперь можно использовать «наивные» предположения условной независимости: предположим, что каждое свойство $F_i $ условно независимо от любого другого свойства $F_j$"

[arseniiv]

Ну, (1) у вас написано немного другое, и (2) там, насколько я вижу, всё-таки попарной независимости не хватит, и (3) в принципе, она нигде явно и не предпочтена независимости в совокупности — выписаны не все требования, и только.

-- Вт апр 05, 2016 02:49:34 --

И не нужно было такой длинный огород городить, напиши они сразу требования нормально, выраженные только через всяческие $\Prob(\ldots\mid C)$ (т. е. без всяких $\Prob(F_i\mid C\cap F_j)$).