Игра, начинающаяся с числа 3

[Ktina]

Игра начинается с числа 3. За ход разрешается умножить имеющееся число на любое натуральное число, меньшее его, но большее 1. Выигрывает тот, кто получит число, большее 10000. Кто выигрывает при правильной игре и как играть чтобы выиграть?

(при желании можно заменить 10000 бОльшими числами и посмотреть, что будет)

[gris]

А сколько игроков? Если два, то надо квадраты анализировать
Ну типа проигрывает тот, кто получит число большее соткина.

[Ktina]

gris
Изначально игра задумывалась для двоих, но можно рассмотреть и групповой... э...вариант, так даже прикольнее.

(Оффтоп)

В слове "соткина" у меня очиточка случилась, прочлось как "скотина"...

[gris]

(Оффтоп)

там я букву в конце пропустил

С несколькими участниками возможна заморочка, что не ясна цель каждого. С двумя понятно — выиграть. А у большего числа могут группировки возникать. Ну Вы же знаете, как это в картах <или в ваших этих ксентиях, или как там они правильно называются >.
А у двух первый выигрывает. Вторым своим ходом выкладывая число большее $50$ и меньшее $101$.

[lopkityu]

Выполним следующую процедуру. Пусть $ f(x)=\left[ \frac{\sqrt{4x+1}+1}{2} \right] $, $ g(x)=\left[ \frac{x}{2} \right] $, а граничное число равно $ n $ (в нашем случае это 10000). Составим последовательность: $ a_{0}=n, a_{2k-1}=f(a_{2k-2}), a_{2k}=g(a_{2k-1}) $. Для полученных чисел имеем разбитие на отрезки вида $ [a_{m+1}+1, a_{m}] $. Нас интересует, в какой из них попадет начальное число 3, которое, кстати, можно заменить любым другим (но, разумеется, большим) - роли это не играет. Итак, если $ m $ в искомом отрезке четное, то выигрывает первый игрок, в противном случае побеждает второй. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, что происходит при игре. Если к игроку попадает число, находящееся в "четном" отрезке $ [a_{2p+1}+1, a_{2p}] $, то он всегда сможет перевести его в следующий, нечетный отрезок $ [a_{2p}+1, a_{2p-1}] $, в чем легко убедиться, поскольку число $ z=\frac{\sqrt{4u+1}+1}{2} $ является корнем уравнения $ z(z-1)=u $. С другой стороны, очевидно, что если к игроку попадает число, принадлежащее нечетному отрезку $ [a_{2p+2}+1, a_{2p+1}] $, то он, независимо от предпринятых действий, всегда будет переводить число в следующий, четный отрезок $ [a_{2p+1}+1, a_{2p}] $. Получается, что игрок, к которому первым попадает число, принадлежащее четному отрезку, может контролировать ход игры так, чтобы к нему попадали только числа из четных отрезков, а к сопернику - только из нечетных. А так как отрезок $ [a_{1}+1, a_{0}] $ четный, то своим ходом он сможет перевести полученное число в некоторое, большее за $ a_{0}=n $, что и будет означать победу этого игрока. Вот, собственно, и вся стратегия К сожалению, она не работает для большего количества игроков, ибо тогда такие "безопасные" отрезки исчезают из поля зрения и непонятно вообще что делать

[Ktina]

lopkityu
Спасибо!