Параболическое неравенство.

[TR63]

Для неотрицательных a,b,c,d доказать неравенство:

$(a+b+c+d)(ab+ac+cb+da+db+dc)\ge12\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)abcd}$

Пусть $a+b+c+d=1$
Правую часть неравенства обозначим A. Левую тоже переобозначим:

$ab+ac+cb+da+db+dc=(a+d)(b+c)+bc+da=xy+bc+da=t+bc+da=t+p$

Тогда исходное неравенство можно переписать в виде:

$(t+p)^2\ge A^2$, $t^2+2tp-A^2\ge0$
$\max t=\frac1 4$ и достигается при $x=y=\frac1 2$. Т.е.
$0\le t\le\frac1 4$, при $t=0$ получается $A=0$. Квадратный трёхчлен имеет не более двух действительных корней. Остаётся выяснить знак неравенства на границе. Т.е. при $t=\frac1 4$. Что означает при $x=\frac1 2$, $y=\frac1 2$.

$x=a+d=\frac1 2$, $d=\frac1 2-a$
$y=b+c=\frac1 2$, $c=\frac1 2-b$

Подставив эти значения (d;c) в исходное неравенство, получим неравенство четвёртой степени от переменной (a) c положительным свободным членом и коэффициентами, зависящими от переменной (b). С частной производной $f'_a\ge0$. Этого достаточно, чтобы исходное неравенство было верно.
Если логических ошибок нет, то можно будет привести арифметические расчёты с помощью вольфрама (там получается очень красивая картинка; всё абсолютно симметрично и сходится с логическими рассуждениями).
Прошу проверить логическую часть доказательства.

[gris]

В скобке с шестью слагаемыми нет опечатки?

[TR63]

Да, есть опечатка. Исправила. Спасибо.