численное взятие интеграла

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. При чтении статьи возник вопрос, как получилась следующая формула для численного взятия интеграла с особенностью. Подскажите как ее получить. Я понимаю, что там использовалась формула трапеций (формула Симпсона), но она немного модифицироана авторами, для того чтоб проинтегрировать особенность. В статье также указывается что используется липшецивость функции $f(\tau)$ . Вот сам интеграл

$$\int\limits_{0}^{\tau}\frac{f(x)}{\sqrt{\tau-x}}dx=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\frac{f(x_{j})}{\sqrt{\tau-x_{j}}}\Delta+f(x_{n})\cdot(2\sqrt{x_{n}}-\sum\limits_{j=0}^{n-1}\frac{\Delta}{\sqrt{\tau-x_{j}}})$$

где $\Delta$ - шаг разбиения отрезка от $0$ до $\tau$ $n$ точками

[Евгений Машеров]

Насколько я понимаю, использован приём представления подынтегральной функции в виде суммы двух таких, что одна допускает аналитическое интегрирование, несмотря на наличие особенности, а вторая особенности не имеет (вернее, имеет устранимую). А именно первая это $g(x)=f(x_n)= \operatorname{const}$, а вторая $h(x)=f(x)-f(x_n)$ обращается в ноль там же, где знаменатель.

[volchenok]

Спасибо большое. Действительно, так оно и есть. Вы очень помогли. Спасибо.

-- Пн мар 28, 2016 00:28:58 --

Ой, извините. Еще небольшой вопросик. А почему слагаемое, взятое в начальной точке, внесено в сумму в ответе, если по формуле трапеций слагаемые в начальной и конечной точках идут с множителями одна вторая. Спасибо.

[Евгений Машеров]

А там точно трапеции? А не прямоугольники? Которые теоретически хуже, а на практике при большом числе точек разница весьма мала, а формула проще.
Да, и прошу прощения за небрежность изложения, хотя Вы, как кажется, поняли правильно.

Евгений Машеров в сообщении #1109685 писал(а):

А именно первая это $g(x)=f(x_n)= \operatorname{const}$, а вторая $h(x)=f(x)-f(x_n)$ обращается в ноль там же, где знаменатель.

Имеется в виду, что это два слагаемых числителя. Знаменатель там $\sqrt{\tau-x}$.

[volchenok]

Я не совсем понял, почему в знаменателе стоит $\sqrt{-x}$. Знаменатель по-моему должен остаться прежним. А то что в числителе нужно прибавить и отнять $f(x_{n})$ я понял. В статье не указан метод интегрирования, но по ответу можно сказать, что это не метод прямоугольников, поскольку, если б мы интегрировали левыми прямоугольниками, то особенность в сумму не вошла. Если б интегрировали правыми прямоугольниками - не вошла б начальная точка, а она в ответе есть.

[Евгений Машеров]

Это у меня очепятка. Я её исправил, но Вы уже увидели ошибочное.

[volchenok]

Я склонялся к варианту опечатки. А вот вопрос относительно одной второй: того, как вошло слагаемое в начальной точке, остается открытым.

[Евгений Машеров]

"Левые прямоугольники", но для слагаемого без особенности. А особенность, вернее, слагаемое с особенностью, берётся аналитически, там вообще численный метод не появляется.

[volchenok]

Ну в принципе да. Я так легко почему-то отмел вариант левых прямоугольников. А почему автора взяли именно такой вариант, если метод трапеций лучше и ответ отличается только одним слагаемым, которое легко вычислить?

[Евгений Машеров]

Скорее всего из-за малости поправки. Ну, или описывали "расчёт вообще", с тем, чтобы можно было бы схему улучшить при надобности.

[volchenok]

Спасибо Вам большое за помощь.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #1109751 писал(а):

А там точно трапеции? А не прямоугольники? Которые теоретически хуже, а на практике при большом числе точек разница весьма мала,

Вот как раз на практике очень велика, и именно при большом количестве точек. При большом к-ве трапеции дают ту же точность на несколько порядков быстрее.

Это уж не говоря о других нюансах, связанных с конечностью разрядной сетки.

[Евгений Машеров]

Не то, чтобы я оспаривал другой порядок формулы трапеций - но в данном случае разница результатов по двум формулам будет
$\frac {(f(x_0)-f(x_n))\Delta}{2\sqrt{\tau}}$
и при малой дельте будет стремиться к нулю.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #1109996 писал(а):

и при малой дельте будет стремиться к нулю.

Не будет. Для трапеций порядок точности будет в случае корня полуторным (как и для всех формул высших порядков), а вот для несимметричных прямоугольников так и останется одинарным. Так что расхождение так и будет радикальным (пусть расхождение порядков и уменьшится вдвое).

[Евгений Машеров]

Ну, как не будет?
Разница между результатами двух формул будет дельта, умноженная на одну константу и делённая на вторую, причём обе от дельты не зависят. Устремляем дельту к нулю - устремляется разность двух формул к нему же.