Нахождение координат вершин шестиугольника

[Orkimed]

Здравствуйте.Никак не могу разобраться с простенькой задачкой на базисы.
Есть шестиугольник $ABCDEF$. Нужно выразить через базис $\left\lbrace A;\vec{AB};\vec{AE} \right\rbrace$ все его вершины.
Смог выразить вершину D через $\vec{AC}+\vec{CD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{AE}+\vec{EF},\, \vec{BC}\quad\vec{EF} сокращаются.Выходит,что координаты точки D $(1,1)$. Про вершины E,B и А понятно.Но как выразить через линейную комбинацию остальные вершины никак понять не могу.
Второй базис $\left\lbrace A;\vec{AB};\vec{AK} \right\rbrace$ К точка на диагонали AE такая,что $AK=AB$ Здесь я вообще не понимаю как подступиться.

[gris]

Шестиугольник правильный, надеюсь. Надо нарисовать его на бумаге и тоненько провести диагонали, отметить центр. И повнимательней посмотреть.
Вторую задачу проще свести к первой, если допускается отдельно посчитать отношение длин некоторых отрезков.

[Orkimed]

gris
Шестиугольник правильный в обоих случаях. Я уже 2.5 часа внимательно смотрю на рисунок с диагоналями и перебираю всевозможные комбинации. Пока ничего конструктивного не получилось.

[gris]

Вы правильно нашли $\vec{AD}$, но очень уж сложно. Ну раз нашли, то можно найти и его половинку. И вообще, посмотрите, какие векторы на картинке равны $\vec{AB}$. Их целая куча. Ну и найдите длину $|AE|$, если $|AB|=1$.

[Orkimed]

gris
Я наверно чего-то не понимаю.Вектора равные,тогда и только когда они коллинеарны,равны по модулю и сонаправлены. И такой вектор для $\vec{AB}$ есть $\vec{ED}$ .
Половина $\vec{AD}$ есть $\vec{AO}=\frac{1}{2}(\vec{AE}+ \vec{AB})$,где О середина AD .
Задачка из задачника Г.Д Ким,Л.В Крицков 23.1.В разобранном до этого задании они не используют понятие модуля вектора.
Вроде, $\vec{AC}=\vec{AO}+\vec{AB}=\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AE}$
$\vec{BC}=\frac{1}{2}\vec{AE}+\frac{1}{2}\vec{AB},\vec{EF}~-\vec{BC}$
$\vec{AF}=\vec{AE}+\vec{EF}=\frac{1}{2}\vec{AE}-\frac{1}{2}\vec{AB}$
Во втором базисе как это провернуть пока не знаю.

[gris]

Совершенно верно. Можно и $\vec{AF}=\vec{AO}-\vec{AB}$, чтобы не находить $\vec{BC}$. Во втором задании, боюсь, без модулей не обойтись. Вектор $\vec{AE}$ коллинеарен базисному $\vec{AK}$ и больше его в число раз, которое только через сложения и вычитания не выразить.

[Orkimed]

Нашёл зависимость длины диагонали от ребра $AE=\sqrt{3}AB$ Это как-то может помочь?
Теоретически,везде должен появиться $\sqrt{3}$,где есть $\vec{AE}$

[gris]

Правильно. И чему же равны координаты $\vec{AE}$ в базисе для прямой $\vec{AK}$? А в базисе $(\vec{AB},\vec{AK})$?

[Orkimed]

gris
A,B без изменений, а вот $C(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),F(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),D(1,\sqrt{3}),E(0,\sqrt{3})$ в базисе $(\vec{AB},\vec{AK})$.Координаты $\vec{AE} $ в базисе $\vec{AK} $ это $(\sqrt{3})$ .

[gris]

Ну вот. А говорили, что не можете решить. Лёгкий намёк — и ответ готов

[Orkimed]

gris
Огромное спасибо за помощь. Без вас бы не смог сдвинуться с мёртвой точки.
Остальные задачи из этой темы прорешались за считанные минуты.Хорошо,когда знаешь, на что обращать внимание.