Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов

[Ktina]

Число 23 является наибольшим натуральным числом, не представимым в виде суммы двух натуральных чисел, не свободных от квадратов (проверьте).
А чему равно наибольшее натуральное число, не представимое в виде суммы двух натуральных чисел, не свободных от кубов?

[Andrey A]

$23=6^2-3^2-2^2$, но $6^3-3^3-2^3=181=5^3+7\cdot 2^3$
Значит $<181.$ Вроде бы $154.$

[Ktina]

Andrey A
Спасибо!
У меня тоже, вроде бы, 154 получилось.
Любопытно было бы продолжить это последовательность. 23, 154, ... Как насчёт 4-х степеней? 5-х? ...

[Andrey A]

Так ведь относительно небольшую область приходится перебирать. Для любого $c>ab$ при вз. простых $a,b$ уравнение $ax+by=c$ разрешимо в целых неотрицательных числах. То же и для ровно одного из вз. простых $c_1+c_2=ab$. Т.е. $>6^n-3^n-2^n$ можно не рассматривать.

Ktina в сообщении #1107827 писал(а):

Любопытно было бы продолжить это последовательность. 23, 154, ...

Можно еще единицу добавить для загадочности: $1,23,154,...$

[Andrey A]

Upd
А не единственное ли исключение $n=3$? Во всяком случае найти следующее число не вида $6^n-3^n-2^n$ будет не просто. Кстати $6^1-3^1-2^1=1.$

[maxal]

Andrey A в сообщении #1107832 писал(а):

Можно еще единицу добавить для загадочности: $1,23,154,...$

См. также A122615

[Ktina]

maxal
Спасибо!

[Andrey A]

Открытым остается вопрос является ли последовательность $6^n-3^n-2^n$ продолжением данной для $n>3$. И самым интересным на мой взгляд. Исследовать положительные числа вида $6^n-3^n-2^n-k\cdot 5^n$ на предмет свободы от $n$-ых степеней двойки и тройки - не такая уж сильная задача для мат. пакетов. Excel'ем проверено до n=15. Можно впрочем свести перебор к минимуму:
$3^n+2^n$ представимо, меньшие не представимы. Тогда $6^n-3^n-2^n$ наоборот не представимо, бОльшие представимы вплоть до $6^n$ и далее. Доказательство есть тут, кратные степеням не рассматриваем. Значит $6^n-3^n-2^n$ - наибольшее из непредставимых степенями двойки и тройки, но могут быть сочетания со степенями пятерки. Запишем $6^n-3^n-2^n=5^nx+2^ny$. Если оно разрешимо в натуральных числах, разрешимо и другое уравнение:

$$2^nz-5^nx=3^n$$

с целым положительным $z<3^n-1$, откуда $y=3^n-1-z>0$. Можно дать ограничение и для $x<\left(\frac{6}{5} \right)^n$, т.е. требуется найти очень маленькие решения указанного уравнения. В случае $n=3$ имеем $2^3\cdot 19-5^3\cdot 1=3^3;$ $3^3-19-1=7=y$. Больше не знаю.

P.S. Меняя местами $2\leftrightarrow 3$, получаем еще зеркальное ур-е:

$$3^nz-5^nx=2^n$$

Но тут совсем жестко: $z<2^n-1$.

[Andrey A]

Upd
До $n=100$ исключений нет. Wolfram посчитал по формуле $z=\left(\dfrac{3+(-5)^n}{2} \right)^n\mod 5^n\ (2\leftrightarrow 3)$, дальше мне его стало жалко. И себя. Все-таки это слишком много для случайности.