Проекция ускорения на ось

[Charlz_Klug]

Читаю "Классическую механику" Айзермана. Движение точки определяется как вектор-функция $\vec{r}(t) = \vec{r}[q_1(t), q_2(t), q_3(t)]$, где $q_1, q_2, q_3$ - некоторые обобщённые точки в трёхмерной системе координат. Зафиксировав в пространстве $q_2 = q_2', q_3 = q_3'$, изменяется $q_1$. Тогда $\vec{r}(q_1, q_2', q_3')$ определяет в пространстве кривую - координатную линию $q_1$. Аналогично строят и остальные координатные линии. Касательные к координатным линиям в точке $q_1', q_2', q_3'$ образуют систему осей координат $q_1$, $q_2$ и $q_3$.

Определяется $\omega_{q_i}$ - проекция ускорения $\omega$ на ось $q_i$, то есть, скалярное произведение $\vec{\omega} \cdot \vec{\tau_i}$:
$\omega_{q_i} = \vec{\omega} \cdot \vec{\tau_i} = \frac {d \vec{\upsilon}} {dt} \cdot \frac {1} {H_i} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i} = \frac {1} {H_i}[\frac {d} {dt} (\vec{\upsilon} \cdot \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}) - \vec {\upsilon} \cdot \frac {d} {dt} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}]$
Здесь орт $\vec{\tau_i}$ оси $q_i (i = 1, 2, 3)$ равен $\vec{\tau} = \frac {\partial \vec{r} / \partial q_i} {|\partial \vec{r} / \partial q_i|}$. Вводится функция Ламе $H_i = |\partial \vec{r} / \partial q_i|$, тогда $\vec{\tau_i} = \frac {1} {H_i} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}$.
Мой вопрос касается проекции ускорения на орт: каким образом получилось $\frac {d} {dt} (\vec{\upsilon} \cdot \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}) - \vec {\upsilon} \cdot \frac {d} {dt} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}$? Как $\vec{\upsilon}$ оторвался от $d$ и вошёл в скобку $(\vec{\upsilon} \cdot \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i})$ и как $\vec{\upsilon}$ оказался впереди $d$: $\vec {\upsilon} \cdot \frac {d} {dt} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}$?

[physicsworks]

Charlz_Klug, в выражении

Charlz_Klug в сообщении #1109495 писал(а):

$\frac {d} {dt} (\vec{\upsilon} \cdot \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}) - \vec {\upsilon} \cdot \frac {d} {dt} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}$

после дифференцирования сложной функции в скобках один из челонов сокращается с последним.

[Munin]

Вся эта фигня с функциями Ламэ в настоящей теормеханике просто не нужна. Работают в обобщённых координатах $q$ с самого начала, и всё.

Соответственно, вместо Айзермана стоит почитать, ну Ландау-Лифшица, Арнольда, Маркеева. На худой конец, Савельева.

[physicsworks]

Munin в сообщении #1109518 писал(а):

Соответственно, вместо Айзермана стоит почитать, ну Ландау-Лифшица, Арнольда, Маркеева. На худой конец, Савельева.

странный винегрет. Айзерман и Маркеев --- классические книги по теоретической механике, по духу практически одинаковые, да и по содержанию, если я правильно помню со своего курса теормеха на физтехе. Советовать вместо одной читать другую по меньшей мере странно.

[Munin]

Ну, Маркеев - это скорее "список всех возможных формулировок, включая самые замшелые". Сам я его использую только как справочник, если кто-то какую-то экзотику вспоминает. Ну хоть, славабогу, не "верёвочные многоугольники".

Готов вычеркнуть Маркеева.

[Walker_XXI]

Charlz_Klug в сообщении #1109495 писал(а):

Мой вопрос касается проекции ускорения на орт: каким образом получилось $\frac {d} {dt} (\vec{\upsilon} \cdot \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}) - \vec {\upsilon} \cdot \frac {d} {dt} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}$? Как $\vec{\upsilon}$ оторвался от $d$ и вошёл в скобку $(\vec{\upsilon} \cdot \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i})$ и как $\vec{\upsilon}$ оказался впереди $d$: $\vec {\upsilon} \cdot \frac {d} {dt} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}$?

Тут нет никакой физики - это чистая математика. Нужно просто вспомнить правило Лейбница (дифференцирование произведения):
$\frac {d} {dt} (f\cdot g) = (\frac {d} {dt}f)\cdot g+f\cdot \frac {d} {dt}g$
В нашем случае
$\frac {d} {dt} (\vec{\upsilon} \cdot \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}) = \frac {d} {dt}\vec{\upsilon}\cdot \frac {\partial \vec{r}}{\partial q_i} + \vec {\upsilon} \cdot \frac {d} {dt} \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i}$
Как видите, если продифференцируем произведение, получим нужное нам выражение (первое слагаемое) плюс ещё что-то. Дальше элементарная алгебра: перекидываем "лишнее" слагаемое налево и получаем удивившую Вас формулу.

[physicsworks]

Munin в сообщении #1109725 писал(а):

Готов вычеркнуть Маркеева.

можно тогда уже порекомендовать Журавлева "Основы теоретической механики". У него более основательна книженция, без веревочных многоугольников.

[Munin]

Не достаточно его читал, чтобы рекомендовать. Оставшихся тоже достаточно, имхо. Но не буду оспаривать вашей рекомендации :-)

[Charlz_Klug]

physicsworks, Walker_XXI спасибо, разобрался. Munin, physicsworks спасибо за рекомендации. Попробую почитать.