Последовательность банаховых пространств

[kp9r4d]

Пусть есть последовательность банаховых пространств $B_0 \supset B_1 \supset B_2 \supset ...$, и пусть $K_i \subset B_i$ - плотное линейное подпространство в $B_i$, которые образуют последовательность $K_0 \supset K_1 \supset K_2 ...$, следует ли из $\bigcap_{i=0}^\infty K_i = 0$ то, что $\bigcap_{i=0}^\infty B_i = 0$?

[Brukvalub]

Разве нуль не будет у всех пространств общим?

[kp9r4d]

Вы правы, пофиксил.

[Someone]

Не следует. Мы ведь можем взять все $B_i$ одинаковыми, а $K_i$ такими, чтобы их пересечение содержало только нулевой вектор.

Если хочется, чтобы $B_i$ убывали, возьмите такую последовательность с ненулевым пересечением, а $K_i$ подберите так, чтобы они с этим пересечением пересекались только в нуле.

Подробности сами продумайте.

[kp9r4d]

Someone в сообщении #1109102 писал(а):

Не следует. Мы ведь можем взять все $B_i$ одинаковыми, а $K_i$ такими, чтобы их пересечение содержало только нулевой вектор.

А можно пример?

[Someone]

Ну, возьмём в $B_0$ счётное всюду плотное множество $\{x_k:k=0,1,2,3,\ldots\}$ линейно независимых векторов, и пусть $K_i$ — линейная оболочка множества $\{x_k:k\geqslant i\}$.

Да, кстати, $B_0$ предполагается бесконечномерным.

[kp9r4d]

Да, верно, спасибо. Немного размытый вопрос: какие условия можно наложить на $K_i$, чтобы это выполнялось?

[Someone]

Даже вообразить не могу. Может быть, $K_i=B_i$?