Спектр шума

[Diom]

Возник такой вот вопрос - часто встречаю утверждение что спектральная плотность белого шума равномерно распределена по всему спектру частот (у цветных шумов спектр распределяется по другим законам) в тоже время очевидно что функция реализации такого шума с вероятностью 1 не является абсолютно интегрируемой а значит к ней нельзя применить преобразование Фурье, о каком тогда вообще спектре может идти речь? (так же непонятно и с цветными шумами... ведь их реализации с вероятностью 1 не финитные функции и в общем то даже не стремящиеся к нулю) Да и вообще как можно говорить о спектре случайного сигнала ведь спектр присущ каждой его конкретной реализации. Ничто в общем то не мешает белому шуму «по удивительному стечению обстоятельств» приобрести форму гармонического сигнала или какого либо другого.

[Gafield]

Это все понимается в смысле обобщенных функций. Утверждение "преобразование Фурье от дельта-функции $\delta(x)$ равно константе" вполне строго обосновывается. Пр. Фурье корректно определено, скажем, в классе обобщенных функций медленного роста.

Цитата:

Ничто в общем то не мешает белому шуму «по удивительному стечению обстоятельств» приобрести форму гармонического сигнала или какого либо другого

Белый шум является производной по времени от винеровского процесса, а не какой-то его реализации.

[Diom]

Ну с дельта-функцией я ещё могу понять. Но в случае с случайным сигналом... ведь Ф.п. осуществляется над некоторой функцией в случае же случайного сигнала у нас имеется множество всевозможных реализаций каждая из которых будет иметь свою спектральную картину. Как тогда можно говорить о каком то конкретном спектре?

[Gafield]

То-то и оно, что говорят о спектральных характеристиках процесса, а не свойствах его реализаций. Случайный процесс и траектория это вообще разные вещи. В общем, по определению надо понимать. Преобразование Фурье берется не от траектории, а от автокорреляционной функции сл. пр.

[Diom]

Но известно что результат Ф.П. от автокорреляционной функции есть ни что иное как квадрат модуля результата Ф.П. от самого сигнала(то есть любой из реализаций). Т.е. получается что через подобную связь спектры реализаций могут иметь произвольными лишь фазы, но не модули. в то время как если зайти с другой стороны некая произвольная реализация может и не иметь каких либо спектральных составляющих.

[Diom]

Ещё один вопрос.
Может ли сигнал, имея ограниченую спектральную плотность энергии, иметь бесконечную энергию?