Концентрические проводящие сферы

[LexiBender]

Система состоит из двух концентрических проводящих сфер - внутренней, радиусом $R_1$ и внешней радиусом $R_2$. На внешней сфере заряд $q$, а внутренняя заземлена. Пространство между сферами заполнено веществом с очень большим удельным сопротивлением $p$. Между сферами течет слабый ток. Найдите его величину.

Уважаемые форумчане, подскажите, как решать данную задачу? Решал подобную, но между сферами был воздух и нужно было находить $E(r)$. В том случае пользовался теоремой Остроградского-Гаусса. Но как поступать здесь?
Моя идея: так как внутренняя сфера заземлена, то ее потенциал равен нулю. Внешняя несет на себе некоторый заряд, поэтому она обладает некоторым отличным от нуля потенциалом. Таким образом, данная разность потенциалов вызывает течение тока: от внешней сферы к внутренней. Но тогда заряд $q$ должен уменьшаться, или я должен пренебречь данным фактом, так как ток течет слабый? Если так, то как найти силу тока?

[Mihr]

LexiBender, если Вам ясно, как найти напряжённость электрического поля между сферами, то дальше я рекомендовал бы найти, пользуясь законом Ома в дифференциальной форме, плотность тока на расстоянии $r$ от общего центра сфер (где величина $r$ принимает промежуточное значение между двумя радиусами сфер) и умножить эту самую плотность тока на площадь сферы радиуса $r$ . Т.о. Вы получите величину силы тока, текущего между сферами.

[LexiBender]

Mihr в сообщении #1108736 писал(а):

LexiBender, если Вам ясно, как найти напряжённость электрического поля между сферами, то дальше я рекомендовал бы найти, пользуясь законом Ома в дифференциальной форме, плотность тока на расстоянии $r$ от общего центра сфер (где величина $r$ принимает промежуточное значение между двумя радиусами сфер) и умножить эту самую плотность тока на площадь сферы радиуса $r$ . Т.о. Вы получите величину силы тока, текущего между сферами.

Спасибо за ответ. Я правильно понял, что вы пренебрегаете тем, что заряд внешней сферы уменьшается?
Хм, нет, мне не ясно как найти напряженность электрического поля между сферами, так как по теореме Остроградского-Гаусса оно должно быть равно нулю, так как внутри нет заряда. Или все таки есть? Тот заряд, что участвует в токовом движении. Но тогда получается замкнутый круг..

[Mihr]

LexiBender в сообщении #1108749 писал(а):

Я правильно понял, что вы пренебрегаете тем, что заряд внешней сферы уменьшается?

Да. Точнее, Вы найдёте таким образом мгновенное значение тока - величину тока в тот момент, когда заряд внешней сферы равен $q$.

LexiBender в сообщении #1108749 писал(а):

по теореме Остроградского-Гаусса оно должно быть равно нулю, так как внутри нет заряда.

LexiBender в сообщении #1108731 писал(а):

Решал подобную, но между сферами был воздух и нужно было находить $E(r)$. В том случае пользовался теоремой Остроградского-Гаусса.

Как-то не согласуются между собой эти фразы.

Ладно, суть проста. Предположим для определённости, что заряд внешней сферы $q>0$. Тогда, если бы внутренняя сфера не была заземлена, потенциал всех точек внутри большой сферы был бы положителен и одинаков, а электрического поля внутри большой сферы не было бы. Но так как внутренняя сфера заземлена, и её потенциал, как Вы сами отмечаете, равен нулю, значит, внутренняя сфера несёт отрицательный заряд (этот заряд стекает на неё с земли). Величину этого заряда найдите из условия, что потенциал внутренней сферы - нуль. Далее, пользуясь найденной величиной найдите распределение напряжённости поля между сферами. Ну, а потом, как я сказал, - закон Ома в дифференциальной форме и уже отсюда значение силы тока.
Когда будете находить поле между сферами, учтите, что оно создаётся лишь зарядом внутренней сферы (теорема Гаусса).

[LexiBender]

Понял вас, попробую.

Просто я не понимал, что на внутренней сфере отрицательный заряд появится, поэтому у меня и получалось ноль по теореме О-Г. А в другой задаче было явно сказано, что внутренняя сфера тоже несет некоторый заряд, поэтому проблем не было :)

[LexiBender]

По теореме О-Г между сферами напряженность равна $E(r) = -q'/r^2$, где -q' это заряд, который стек с земли на внутреннюю сферу
Далее имеем:
$I = \int\limits_{R_1}^{R_2}jdS = \int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{E(r)}{p}dS = -\int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{q'}{r^2p}8\pi rdr$ $=\frac{8\pi q'}{p}$$\log\frac{R_1}{R_2}$
Не могу понять, как с помощью того, что потенциал внутренней сферы нуль, найти заряд q' ?

[Mihr]

LexiBender в сообщении #1108907 писал(а):

Не могу понять, как с помощью того, что потенциал внутренней сферы нуль, найти заряд q' ?

Потенциал поля внешней сферы равен $\frac q{R_2}$ как на поверхности этой сферы, так и внутри неё. Потенциал поля внутренней сферы на её поверхности равен $\frac {q'}{R_1}$. Суммарный потенциал внутренней сферы т.о. равен $\frac q{R_2}+\frac {q'}{R_1}$. Согласно ранее сказанному получаем $\frac q{R_2}+\frac {q'}{R_1}=0$. Отсюда легко находится заряд внутренней сферы.
Чтобы найти величину тока, ничего интегрировать не нужно. Нужно просто умножить плотность тока на площадь сферы заданного радиуса (о чём я уже говорил).

[LexiBender]

Кажется до меня дошло! :)
Спасибо огромное за Ваше терпение , совсем позабыл данный раздел физики