-DooM- писал(а):
Здраствуйте, уважаемые математики.
Возникли проблемы с выполнением домашней работы. Тема д/з - лимиты и последовательности.
Задача номер 1:
Пусть X1 = 1, Xn+1 = корень(3+корень(Xn)), n >= 1. Доказать, что последовательность монотонна.
Вроде бы беру разность Xn+2, Xn+1, по получается не то, что хотелось. Как такие задачи решить?
Дана последовательность
с условием
, при
.
Область определения выражения
задается условием
, тогда
, то есть снова
.
Значит область допустимых значений
есть
Пусть
, тогда
(при
).
Введем переменную
(при
) и сделаем замену:
тогда
Откуда же
при
и
при
.
Исследуем функцию
, ее производная
:
,
также
при
и
при
максимум
Далее
и
, значит:
на интервале
функция
строго возрастает от
до
и строго больше нуля;
на интервале
функция
строго убывает от
до
,
значит на
есть единственная точка
, где функция
обращается в нуль (
) и эта точка принадлежит интервалу
.
(это дает
и
)
Вывод:
на интервале
дает
,
на интервале
дает
,
при
дает
или
Посмотрим когда
(по определению
):
,
откуда же
при
и
при
.
Итог:
1) при
будет
и последовательность
с начальным условием
стремится к некоторому пределу
;
2) при
будет
и последовательность
с начальным условием
стремится к некоторому пределу
;
так как функция
непрерывна, то
и, аналогично
, откуда
.
3) при
будет
и последовательность
с начальным условием
стремится к пределу
;
4) при
будет
и последовательность
с начальным условием
стремится к пределу
;