Последовательности и пределы

[-DooM-]

Здраствуйте, уважаемые математики.

Возникли проблемы с выполнением домашней работы. Тема д/з - лимиты и последовательности.

Задача номер 1:
Пусть X1 = 1, Xn+1 = корень(3+корень(Xn)), n >= 1. Доказать, что последовательность монотонна.

Вроде бы беру разность Xn+2, Xn+1, по получается не то, что хотелось. Как такие задачи решить?

[Brukvalub]

-DooM- писал(а):

Как такие задачи решить?

Именно так, как Вы и начали решать.

-DooM- писал(а):

Вроде бы беру разность Xn+2, Xn+1, по получается не то, что хотелось.

Напишите, что получилось.

[antbez]

Последовательность монотонно (хотя и медленно) возрастает. Сравните просто соседние члены посл-ти.

[-DooM-]

Brukvalub писал(а):

-DooM- писал(а):

Как такие задачи решить?

Именно так, как Вы и начали решать.

-DooM- писал(а):

Вроде бы беру разность Xn+2, Xn+1, по получается не то, что хотелось.

Напишите, что получилось.

Получилось следующее(Xn+2 - Xn-1):
корень(Xn+1) + корень(Xn)
---------------------------------------------------------------------------------------
корень(3+корень(Xn+1)) + корень(3+корень(Xn))

Не вижу здесь монотонности...

Добавлено спустя 6 минут 38 секунд:

Нет, всё таки вижу. так как там везде +. А как посчитать лимит:
lim $ \frac {2^(n+1)+n^1000} {3^n + 1}$
n->беск.

[Jnrty]

Jnrty:

-DooM-, запишите, пожалуйста, формулы так, как это принято на форуме (http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355). Если не исправите, отправлю тему в Карантин до исправления.

[Brukvalub]

Штоб Вам так объясняли, как вы здесь над формулами изголяетесь!!!

[-DooM-]

Прошу прощения - не знал о такой удобной системе - буду пользоваться обязательно. Каюсь... Исправил.

[Cobert]

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a}{b}$

[math]$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a}{b}$[/math]

$d^ddddd; d^{dddddd}$

[math]$d^ddddd; d^{dddddd}$[/math]

[-DooM-]

Во: $ \lim\limits_{n \to \infty} \frac {2^{n+1}+n^{1000}} {3^n + 1}}$

[Brukvalub]

Поделите все на

\[3^n \]

[-DooM-]

А $ \frac {n^{1000}} {3^n} $ равно бесконечность?

[Brukvalub]

Нет, рост возрастающей показательной функции на бесконечности обгоняет рост любой степенной функции, предел их отношения $ \frac {n^{1000}} {3^n} $ будет равен 0.

[ddn]

-DooM- писал(а):

Здраствуйте, уважаемые математики.

Возникли проблемы с выполнением домашней работы. Тема д/з - лимиты и последовательности.

Задача номер 1:
Пусть X1 = 1, Xn+1 = корень(3+корень(Xn)), n >= 1. Доказать, что последовательность монотонна.

Вроде бы беру разность Xn+2, Xn+1, по получается не то, что хотелось. Как такие задачи решить?

Дана последовательность $\vec x\in(\mathbb{N}\to \overline{\mathbb{R}})$ с условием $x_{n+1}=\sqrt{3+\sqrt{x_n}}$, при $n\geqslant 1$.

Область определения выражения $x_{n+1}$ задается условием $x_n\geqslant 0$, тогда $x_{n+1}\geqslant\sqrt{3}>0$, то есть снова $x_{n+1}\geqslant 0$.
Значит область допустимых значений $x_1$ есть $[0,+\infty]$

Пусть $x_{n+1}=\sqrt{3+\sqrt{x_n}}>x_n\geqslant 0$, тогда $\Leftrightarrow 3+\sqrt{x_n}>x_n^2 \Leftrightarrow -x_n^2+\sqrt{x_n}+3>0$ (при $x_n\not =+\infty$).
Введем переменную $y=\sqrt{x_n}\geqslant 0$ (при $x_n\geqslant 0$) и сделаем замену:
тогда $x_{n+1}>x_n$ $\Leftrightarrow -y^4+y+3>0$
Откуда же $x_{n+1}<x_n$ при $-y^4+y+3<0$ и $x_{n+1}=x_n$ при $-y^4+y+3=0$.

Исследуем функцию $f(y)=-y^4+y+3$, ее производная $f'(y)=-4y^3+1$:
$f'(y)=-4y^3+1>0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}>y^3 \Leftrightarrow y<y_*=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=0,6299(_6^7)$,
также $f'(y)<0$ при $y>y_*$ и $f'(y)=0$ при $y=y_*$

максимум $f_*=f(y_*)=-\frac{1}{\sqrt[3]{4}^4}+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+3=3,4724(_7^8)>0$
Далее $f(0)=3<f(y_*)$ и $f(+\infty)=-\infty$, значит:
на интервале $[0,y_*]$ функция $f(y)$ строго возрастает от $f(0)=3$ до $f(y_*)$ и строго больше нуля;
на интервале $[y_*,+\infty]$ функция $f(y)$ строго убывает от $f(y_*)>0$ до $f(+\infty)=-\infty<0$,
значит на $[0,+\infty]$ есть единственная точка $y_c=1,4526(_2^3)$, где функция $f(y)$ обращается в нуль ($f(y_c)=0$) и эта точка принадлежит интервалу $(y_*,+\infty)$.
(это дает $x_*=0,3968(_5^6)$ и $x_c=2,1101(_2^3)$)

Вывод: $x_n$ на интервале $[0,x_c)$ дает $x_{n+1}>x_n$,
на интервале $(x_c,+\infty)$ дает $x_{n+1}<x_n$,
при $x_{n+1}=x_n$ дает $x=x_c$ или $x=+\infty$

Посмотрим когда $x_{n+1}<x_c$ (по определению $-x_c^2+\sqrt{x_c}+3=0$):
$\Leftrightarrow \sqrt{3+\sqrt{x_n}}<x_c$ $\Leftrightarrow 3+\sqrt{x_n}<x_c^2 \Leftrightarrow \sqrt{x_n}-\sqrt{x_c}<x_c^2-\sqrt{x_c}-3=0 \Leftrightarrow \sqrt{x_n}<\sqrt{x_c} \Leftrightarrow x_n<x_c$,
откуда же $x_{n+1}>x_c$ при $x_n>x_c$
и $x_{n+1}=x_c$ при $x_n=x_c$.

Итог:
1) при $0\leqslant x_n<x_c$ будет $x_n<x_{n+1}<x_c$ и последовательность $\vec x$ с начальным условием $0\leqslant x_1<x_c$ стремится к некоторому пределу $x_-\leqslant x_c$;
2) при $x_c<x_n<+\infty$ будет $x_c<x_{n+1}<x_n$ и последовательность $\vec x$ с начальным условием $x_c<x_1<+\infty$ стремится к некоторому пределу $x_+\geqslant x_c$;
так как функция $g(x)=\sqrt{3+\sqrt{x}}$ непрерывна, то $x_-=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}g(x_{n-1})=g(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1})=g(x_-)$ и, аналогично $x_+=g(x_+)$, откуда $x_-=x_+=x_c$.
3) при $x_n=x_c$ будет $x_{n+1}=x_n=x_c$ и последовательность $\vec x$ с начальным условием $x_1=x_c$ стремится к пределу $x_c$;
4) при $x_n=+\infty$ будет $x_{n+1}=x_n=+\infty$ и последовательность $\vec x$ с начальным условием $x_1=+\infty$ стремится к пределу $+\infty$;