2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение19.03.2016, 02:41 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Число 23 является наибольшим натуральным числом, не представимым в виде суммы двух натуральных чисел, не свободных от квадратов (проверьте).
А чему равно наибольшее натуральное число, не представимое в виде суммы двух натуральных чисел, не свободных от кубов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение19.03.2016, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1969
Санкт-Петербург
$23=6^2-3^2-2^2$, но $6^3-3^3-2^3=181=5^3+7\cdot 2^3$
Значит $<181.$ Вроде бы $154.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение19.03.2016, 12:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Andrey A
Спасибо!
У меня тоже, вроде бы, 154 получилось.
Любопытно было бы продолжить это последовательность. 23, 154, ... Как насчёт 4-х степеней? 5-х? ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение19.03.2016, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1969
Санкт-Петербург
Так ведь относительно небольшую область приходится перебирать. Для любого $c>ab$ при вз. простых $a,b$ уравнение $ax+by=c$ разрешимо в целых неотрицательных числах. То же и для ровно одного из вз. простых $c_1+c_2=ab$. Т.е. $>6^n-3^n-2^n$ можно не рассматривать.
Ktina в сообщении #1107827 писал(а):
Любопытно было бы продолжить это последовательность. 23, 154, ...

Можно еще единицу добавить для загадочности: $1,23,154,...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение19.03.2016, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1969
Санкт-Петербург
Upd
А не единственное ли исключение $n=3$? Во всяком случае найти следующее число не вида $6^n-3^n-2^n$ будет не просто. Кстати $6^1-3^1-2^1=1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение27.03.2016, 21:25 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Andrey A в сообщении #1107832 писал(а):
Можно еще единицу добавить для загадочности: $1,23,154,...$

См. также A122615

 Профиль  
                  
 
 Re: Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение27.03.2016, 23:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
maxal
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение28.03.2016, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1969
Санкт-Петербург
Открытым остается вопрос является ли последовательность $6^n-3^n-2^n$ продолжением данной для $n>3$. И самым интересным на мой взгляд. Исследовать положительные числа вида $6^n-3^n-2^n-k\cdot 5^n$ на предмет свободы от $n$-ых степеней двойки и тройки - не такая уж сильная задача для мат. пакетов. Excel'ем проверено до n=15. Можно впрочем свести перебор к минимуму:
$3^n+2^n$ представимо, меньшие не представимы. Тогда $6^n-3^n-2^n$ наоборот не представимо, бОльшие представимы вплоть до $6^n$ и далее. Доказательство есть тут, кратные степеням не рассматриваем. Значит $6^n-3^n-2^n$ - наибольшее из непредставимых степенями двойки и тройки, но могут быть сочетания со степенями пятерки. Запишем $6^n-3^n-2^n=5^nx+2^ny$. Если оно разрешимо в натуральных числах, разрешимо и другое уравнение: $$2^nz-5^nx=3^n$$ с целым положительным $z<3^n-1$, откуда $y=3^n-1-z>0$. Можно дать ограничение и для $x<\left(\frac{6}{5} \right)^n$, т.е. требуется найти очень маленькие решения указанного уравнения. В случае $n=3$ имеем $2^3\cdot 19-5^3\cdot 1=3^3;$ $3^3-19-1=7=y$. Больше не знаю.

P.S. Меняя местами $2\leftrightarrow 3$, получаем еще зеркальное ур-е: $$3^nz-5^nx=2^n$$ Но тут совсем жестко: $z<2^n-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непредставимость в виде суммы двух не свободных от кубов
Сообщение30.03.2016, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1969
Санкт-Петербург
Upd
До $n=100$ исключений нет. Wolfram посчитал по формуле $z=\left(\dfrac{3+(-5)^n}{2} \right)^n\mod 5^n\ (2\leftrightarrow 3)$, дальше мне его стало жалко. И себя. Все-таки это слишком много для случайности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group