топология, индуцированная полунормами. Противоречие.

[dikiy]

Никак не могу понять одну вещь. Уже целый месяц возвращаюсь к этому вопросу - и все безрезультатно.

Возьмем банахово пространство $C_0^0$ непрерывных функций, исчезающих на бесокнечности. То есть

$$C_0^0(\Omega):=\{ f \in C^0(\Omega)\big|\; \forall \varepsilon>0\quad \{x\in\Omega\big|\; |f(x)|\geq \varepsilon\} \text { -- compact} \}$$

Пусть топология будет стандартной, индуцированной супремум-нормой: $\|f\|:=\sup_\Omega |f(x)|.$

Пусть для простоты $\Omega = \mathbb R.$

Очевидно, что пространство функций с компактным носителем $C_c(\Omega)$ плотно в $C_0^0(\Omega).$

Рассмотрим теперь слабую* топологию на двойственном пространстве $(C_0^0)^*.$ Пусть мы индуцируем эту тополгию с помощью полунорм вида

$$\| \varphi \|_f := |\varphi(f)|,\; f\in C_c(\Omega),\varphi\in (C_0^0)^*.$$

Очевидно, что в этой топологии все функционалы вида

$$ \begin{align} f: (C_0^0)^* \to \mathbb R\\ \varphi \mapsto \varphi(f) \end{align} $$

непрерывны при $f\in C_c(\Omega).$

рассмотрим теперь такой функционал, только допустим, что $\bar f$ лежит в $C_0^0(\Omega).$

Известна теорема, что линейный функционал $g$ непрерывен в локально выпуклой топологии на векторном пространсве $E$ (индуцированной семейством полунорм $\{\|\cdot\|_f\}$) тогда и только тогда, когда существует полунорма $\| \cdot \|_f$ для которой действительно:

$$ g(\varphi) \leq c \| \varphi \|_f,\quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$

где $c>0.$

То есть как будто бы функционал $\bar f \in C_0^0(\Omega)$ не должен быть непрерывным. Ведь какую бы мы ни взяли функцию $f\in C_c(\Omega)$ мы можем взять, к примеру, функционал $\varphi(f):=|f(x_0)|, x_0\not\in supp(f)$ и тогда вышеуказанное неравенство не выполняется. А значит функционал $\bar f$ не непрерывен на $(C_0^0(\Omega))^*.$

С другой стороны, пусть дана любая сходящаяся к $\varphi$ последовательность $\{ \varphi_i \}$ в слабой* топологии на $(C_0^0(\Omega))^*.$ И пусть последовательность $\varphi_i$ сильно ограничена. То есть $\| \varphi_i \|:=\sup_{\|f\|\leq 1} |\varphi_i(f)| \leq C.$ Теперь рассмотрим выражение

$$\lim_{i\to\infty} \varphi_i(\bar f) = \varphi(\bar f).$$

Если оно истинно, то функционал $\bar f$ непрерывен в слабой* топологии.

Мы знаем, что

$$\lim_{i\to\infty} \varphi_i(f) = \varphi(f)$$

по определению слабой* топологии истинно для $f\in C_c(\Omega).$

Пусть $f_j$ сходящаяся к $\bar f$ последовательность функций из $C_c(\Omega).$ Рассмотрим теперь выражение (учтем, что $\lim (\varphi_i(f_j)-\varphi(f_j)) = 0$)
\begin{align} \lim_{i\to\infty} (\varphi_i(\bar f) - \varphi(\bar f)) &= \lim (\varphi_i(\bar f) - \varphi(\bar f)) + \lim (\varphi(f_j)-\varphi_i(f_j))\\ &=\lim (\varphi_i(\bar f) - \varphi_i(f_j) + \varphi(f_j)-\varphi(\bar f))\\ &=\lim_{i\to\infty} \varphi_i(\bar f - f_j) + \varphi(f_j-\bar f). \end{align}

Так как все $\varphi_i$ равномерно ограничены константой $C,$ а $f-f_j$ равномерно сходится к нулю, то после предельного перехода по $j\to\infty$ мы получаем, что

$$\lim_{i\to\infty} (\varphi_i(\bar f) - \varphi(\bar f)) = 0.$

То есть $\bar f$ непрерывен в слабой* топологии на $(C_0^0)^*$ и мы получили противоречие.

--------
Как быть? Где моя ошибка?

[quartermind]

Ошибка здесь:

dikiy в сообщении #1106937 писал(а):

Рассмотрим теперь слабую* топологию на двойственном пространстве $(C_0^0)^*.$ Пусть мы индуцируем эту тополгию с помощью полунорм вида

$$\| \varphi \|_f := |\varphi(f)|,\; f\in C_c(\Omega),\varphi\in (C_0^0)^*.$$

Данные полунормы попросту порождают другую топологию, более слабую, нежели *слабая в $(C_0^0)^*$. И ваши рассуждения это показывают.

dikiy в сообщении #1106937 писал(а):

Известна теорема, что линейный функционал $g$ непрерывен...

В нашем конкретном случае это несущественно, а в общем должно быть так: существует конечное число полунорм $\{ \lVert \cdot \rVert_{f_i} \}$, таких что

$$ g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$

[dikiy]

quartermind в сообщении #1106981 писал(а):

Ошибка здесь:

dikiy в сообщении #1106937 писал(а):

Рассмотрим теперь слабую* топологию на двойственном пространстве $(C_0^0)^*.$ Пусть мы индуцируем эту тополгию с помощью полунорм вида

$$\| \varphi \|_f := |\varphi(f)|,\; f\in C_c(\Omega),\varphi\in (C_0^0)^*.$$

Данные полунормы попросту порождают другую топологию, более слабую, нежели *слабая в $(C_0^0)^*$. И ваши рассуждения это показывают.

да. Но я не могу понять, почему рассуждения с предельным переходом приводят к выводу, что $\bar f$ непрерывна в этой более слабой топологии! Ведь по идее не должно так быть, ибо мы не сможем найти такие полунормы, чтобы

$$ \varphi(\bar f)=:g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$

Цитата:

Цитата:

Известна теорема, что линейный функционал $g$ непрерывен...

В нашем конкретном случае это несущественно, а в общем должно быть так: существует конечное число полунорм $\{ \lVert \cdot \rVert_{f_i} \}$, таких что

$$ g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$

[quartermind]

dikiy в сообщении #1106995 писал(а):

Ведь по идее не должно так быть, ибо мы не сможем найти такие нормы, чтобы

$$ \varphi(\bar f)=:g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$

По определению, *слабая топология $C_0^0$ порождается полунормами $\lVert\cdot\rVert$_f, где $f \in C_0^0$, а не в $C_c$, как вы изначально предположили. Так что сможем.

[dikiy]

quartermind в сообщении #1106997 писал(а):

dikiy в сообщении #1106995 писал(а):

Ведь по идее не должно так быть, ибо мы не сможем найти такие нормы, чтобы

$$ \varphi(\bar f)=:g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$

По определению, *слабая топология $C_0^0$ порождается полунормами $\lVert\cdot\rVert$_f, где $f \in C_0^0$, а не в $C_c$, как вы изначально предположили. Так что сможем.

Забьем на определение пока. Пусть слабая *топология в данном конкретном случае порождена именно полунормами, в которых $f$ из $C_c.$ Каким образом тогда противоречие объяснить?

[quartermind]

dikiy, для начала перепишите внятно ваши манипуляции с пределами, указав явно, где и в каком порядке берутся пределы по $i$ и по $j$.