Доказательство ВТФ для 3-й степени

[PhisicBGA]

Прежде чем приступить к доказательству самой теоремы докажем несколько лемм и дадим некоторые определения.
Лемма 1. "Куб любого целого числа может быть представлен произведением трех последовательных целых чисел плюс число равное основанию этого куба".
Доказательство.
Куб любого целого числа по определению представляет собой произведение трёх одинаковых сомножителей,равных основанию куба.Пусть $x$-целое число.Тогда $x^3 = (x)(x)(x)$. Преобразуем эту формулу следующим образом $x^3 = (x)(x)(x) = (x)x^2 = x(x^2-1+1)=x(x^2-1)+x $.Применим формулу сокращённого умножения $x^2-1=(x-1)(x+1)$ и получим:

$$x^3 =(x-1)x(x+1)+x .(1) $$

Мы получили в правой части произведение трех последовательных чисел $(x-1)x(x+1)$плюс число равное основанию куба $x$,что и требовалось доказать.

Назовем это представление куба - формулой внутренней структуры куба, поскольку из неё следует,что любой куб целого числа $x$ состоит из $2(x-1)$ треугольных чисел плюс число равное основанию куба $x$Действительно,

$$x^3 =(x-1)x(x+1)+x = 2(x-1) \frac{x(x+1)}{2} + x .(2)$$

Треугольное число $ \frac{x(x+1)}{2} = 1+2+3+.....+x $ в дальнейшем для удобства и наглядности будем записывать в следующем виде $ \frac{x(x+1)}{2} = 1+2+3+.....+x = <x>$
Тогда формула (2) в новом обозначении примет следующий вид:

$$x^3 =(x-1)x(x+1)+x = 2(x-1) \frac{x(x+1)}{2} + x = 2(x-1)<x> + x .(2)$$

Произведение трех последовательных целых чисел $(x-1)x(x+1)$в формуле внутренней структуры куба (1) назовём - основным телом куба.

Лемма 2. "В структуре кубов чётных и нечётных чисел наблюдается асимметрия при их представлении с помощью формулы
внутренней структуры куба:основное тело куба любого нечетного числа имеет постоянный множитель равный 4, а у куба чётного числа такого множителя нет"
Доказательство.
Рассмотрим куб нечётного числа $x = 2a +1$,где $a$-целое число :$(2a+1)^3$.Применим к нему формулу внутренней структуры кубов:

$$(2a+1)^3= [(2a+1)-1](2a+1)[(2a+1)+1] + 2a+1 = 2a(2a+1)(2a+2) + 2a+1 = 4(2a+1)a(a+1) + 2a+1.(3)$$

Мы видим,что перед основным телом куба стоит множитель 4.
Рассмотрим куб чётного числа $x = 2a $,где $a$-целое число :$(2a)^3$.Применим к нему формулу внутренней структуры кубов:

$$(2a)^3= [(2a)-1](2a)[(2a)+1] + 2a = (2a+1)(2a)(2a-1) + 2a .(4)$$

Мы видим,что перед основным телом куба чётного числа этого множителя нет.Двойка не в счёт, поскольку она входит в коэффициент 6,который есть и у основного тела нечётного числа (три последовательных целых числа всегда имеют в составе 2 и 3 ).Поскольку целое число $a$ является произвольным, следовательно куб любого чётного и нечётного числа по отношению друг к другу имеют такую асимметрию в своих структурах,что и требовалось доказать.

Наличие этой особенности в структуре кубов является причиной существования в пространстве кубов целых чисел некой константы - назовём её константа B, которая связывает такие важные с точки зрения ВТФ величины,как величина куба,его единичное приращение,сумму и разность кубов половинок его основания.

Лемма 3. "В пространстве кубов целых чисел для куба любого нечётного числа $x^3=(2a +1)^3$ отношение разности состоящей из этого куба минус число равное его основанию к разности состоящей из суммы кубов чисел равных половинкам его основания минус число равное этому основанию всегда постоянно и равно 4."

$$ B = \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{[(a+1)^3+a^3] - (2a+1)} =\operatorname{const} =4 $$

Доказательство.
Рассмотрим куб некоторого нечетного числа $x = 2a +1$,где $a$-целое число :$(2a+1)^3$.Применим к нему формулу внутренней структуры кубов:

$$(2a+1)^3= 2a(2a+1)(2a+2) + 2a+1 = 4(2a+1)a(a+1) + 2a+1 .(5) $$

Теперь рассмотрим сумму кубов чисел равных половинкам основания этого куба:$(a+1)^3 + a^3$.
Применим к этим кубам так же формулу внутренней структуры кубов:

$$(a+1)^3 +a^3 = a(a+1)(a+2) +(a+1) + (a -1)(a)(a+1) + a = (2a+1)a(a+1) + 2a+1 $$

Запишем полученное равенство следующим образом:

$$(2a+1)a(a+1) = (a+1)^3 +a^3 - (2a+1)= $$

Подставим полученное равенство в равенство (5):

$$(2a+1)^3 = 4(2a+1)a(a+1) + 2a+1 = 4[(a+1)^3 +a^3 - (2a+1)] + (2a+1) $$

Перенесем число $(2a+1)$ в левую часть и разделим обе части равенства на правую часть без 4:

$$ \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{[(a+1)^3+ a^3 ] - (2a+1)} = 4 .(6)$$

Замечаем,что полученное равенство (6) точно совпадает с выражением заявленной константы B,что и требовалось доказать.

Из основного выражения константы B для куба нечётного числа - $(2a+1)^3$,где $a$-целое число можно получить её производное выражение , связывающее единичное приращение этого куба с разностью кубов половинок его основания.
Действительно, рассмотрим основное выражение константы B для куба нечётного числа - $(2a+1)^3$,где $a$-целое число:

$$ B = \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{[(a+1)^3+a^3] - (2a+1)} =\operatorname{const} =4 $$

Умножим обе части равенства $ \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{(a+1)^3+a^3 - (2a+1)} =4 $ на знаменатель дроби левой части:

$$(2a+1)^3 -(2a +1) = 4(a+1)^3 + 4a^3 -4(2a+1)$$

Для куба $(2a+1)^3$ воспользуемся формулой бинома Ньютона и запишем его следующим образом:

$$(2a+1)^3 =(2a)^3 + 6<2a>+1= 8(2a)^3 +6<2a>+1$$

Подставим это выражение в равенство и получим:

$$ 8a^3 +(6<2a> +1) - (2a+1) = 4(a+1)^3 + 4a^3 -4(2a+1)$$

После сокращения подобных членов и перегруппировки получим:

$$ (6<2a> +1) - (2a+1) = 4(a+1)^3 - 4a^3 -4(2a+1)=4[(a+1)^3 - a^3 -(2a+1)]$$

Разделим обе части полученного равенства на выражение в левой части без 4 и получим:

$$ \frac{(6<2a> +1)- (2a+1)}{[(a+1)^3 - a^3] - (2a+1)} =4 $$

Это и есть производное выражение константы B для единичного приращения куба нечётного числа:

$$ B = \frac{(6<2a> +1)- (2a+1)}{[(a+1)^3 - a^3] - (2a+1)} =\operatorname{const} =4 $$

Вот на основе этих двух выражений для константы B- основного и производного- и будет строиться доказательство невозможности равенства суммы кубов целых чисел кубу другого целого числа.
Учитывая довольно большой объём информации,хотел бы дать время на её осмысление и ответы на возникшие вопросы,прежде чем представить само доказательство.

[alexo2]

Пока вопросов нет, хотя преобразования проверял "по диагонали", надеясь на Вашу добросовестность и понимая, что достигнутые в этой части результаты - тривиальны. Лемму 1 можно было вообще не приводить.
Опечатки - действительно - опечатки, так как далее - не повторяются, как здесь, например:

PhisicBGA в сообщении #1105952 писал(а):

$$(2a+1)^3 =(2a)^3 + 6<2a>+1= 8(2a)^3 +6<2a>+1$$

Что дальше?.

[grizzly]

PhisicBGA в сообщении #1105952 писал(а):

Произведение трех последовательных целых чисел [...] назовём - основным телом куба.

PhisicBGA доказывая Лемму 2 в сообщении #1105952 писал(а):

Мы видим,что перед основным телом куба стоит множитель 4.

Здесь под "основным телом куба" всё ещё понимается произведение трёх последовательных целых чисел? Тогда после множителя 4 не стоит "основное тело куба".

[PhisicBGA]

grizzly писал(а):

Здесь под "основным телом куба" всё ещё понимается произведение трёх последовательных целых чисел? Тогда после множителя 4 не стоит "основное тело куба".

Вы правы.Надо переопределить.Основным телом куба назовём слагаемое в формуле внутренней структуры куба где сосредоточена его основная числовая масса.

alexo2 писал(а):

Что дальше?.

Сажусь набирать само доказательство.

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1106013 писал(а):

Основным телом куба назовём слагаемое в формуле внутренней структуры куба где сосредоточена его основная числовая масса.

"Гибридность" сейчас в моде, конечно.. Но, все-таки, нужны более точные определения. Более "формализованные", так сказать...

[PhisicBGA]

alexo2 писал(а):

"Гибридность" сейчас в моде, конечно.. Но, все-таки, нужны более точные определения. Более "формализованные", так сказать.

Как физику мне это определение очень нравится.. .Но Вы конечно правы.Я вернусь к этому вопросу после представления доказательства.

-- 12.03.2016, 19:06 --

Представляю само доказательство.
Предположим ,что сумма кубов двух произвольных целых чисел $x=(2a+1)$ и $ 2b $,где
$ a $ и $b$-целые числа равна кубу некоторого целого числа $z=(2c+1)$,где
$ c $- целое число т.е. справедливо равенство:

$$ (2a+1)^3 + (2b)^3 = (2c+1)^3 .(1)$$

Рассмотрим целое число $x_{1}= (4a+1)$.Для куба этого числа запишем основное выражение константы
B:

$$ B = \frac{(4a+1)^3- (4a+1)}{[(2a+1)^3+(2a)^3] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(2)$$

Запишем теперь производное выражение константы B для его единичного приращения:

$$ B = \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[(2a+1)^3 - (2a)^3] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(3)$$

Исходя из нашего предположения разность $(2a+1)^3 - (2a)^3$ можно записать следующим образом:

$$ (2a+1)^3 - (2a)^3 = (2c+1)^3-(2b)^3-(2a)^3 $$

Используем формулу бинома Ньютона и распишем это равенство следующим образом:

$$ (2a+1)^3 - (2a)^3 = (2c+1)^3-(2b)^3-(2a)^3 = (2c)^3+(6<2c>+1)-(2b)^3-(2a)^3 =$$

$$ (2c)^3+(6<2c>+1)-(2b)^3-(2a)^3 = (2c)^3-(2b)^3-(2a)^3+(6<2c>+1)=$$

$$ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)=$$

Подставим это выражение в равенство (3) и получим :

$$ B = \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(3)$$

Рассмотрим равенство

$$ \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)] - (4a+1)} =4 .(4)$$

Приступим к его преобразованию:

$$ \frac{6<4a> - 4a }{[ 8(c^3-b^3-a^3)+6<2c>-4a } =4 $$

$$ \frac{2(3<4a> - 2a) }{ 2[4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 $$

После сокращения на 2 получим:

$$ \frac{3<4a> - 2a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 .(5)$$

Продолжение следует.

[lasta]

PhisicBGA в сообщении #1105952 писал(а):

Перенесем число $(2a+1)$ в левую часть и разделим обе части равенства на правую часть без 4:

$$ \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{[(a+1)^3+ a^3 ] - (2a+1)} = 4 .(6)$$

Замечаем,что полученное равенство (6) точно совпадает с выражением заявленной константы B,что и требовалось доказать.

(6) доказывается простым раскрытием скобок.

PhisicBGA в сообщении #1105952 писал(а):

Разделим обе части полученного равенства на выражение в левой части без 4 и получим:

$$ \frac{(6<2a> +1)- (2a+1)}{[(a+1)^3 - a^3] - (2a+1)} =4 $$

Это и есть производное выражение константы B для единичного приращения куба нечётного числа:

В тождестве $4A=4A$ Разделим обе части на выражение в правой части без 4 и получим $\frac{4A}{A}=4$
Пока не видно ни какой информации от применения всех этих алгебраических преобразований.

-- 12.03.2016, 21:46 --

А если

$$A=A_1A_2A_3,$$

то в тождестве

$$4A_1A_2A_3=4A_1A_2A_3,$$

разделив обе части на выражение в правой без любого сомножителя, получим разные результаты. Например,

$$\frac{4A_1A_2A_3}{4A_2A_3}=A_1$$

[PhisicBGA]

Представляю само доказательство.
Предположим ,что сумма кубов двух произвольных целых чисел $x=(2a+1)$ и $ 2b $,где
$ a $ и $b$-целые числа равна кубу некоторого целого числа $z=(2c+1)$,где
$ c $- целое число т.е. справедливо равенство:

$$ (2a+1)^3 + (2b)^3 = (2c+1)^3 .(1)$$

Рассмотрим целое число $x_{1}= (4a+1)$.Для куба этого числа запишем основное выражение константы
B:

$$ B = \frac{(4a+1)^3- (4a+1)}{[(2a+1)^3+(2a)^3] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(2)$$

Запишем теперь производное выражение константы B для его единичного приращения:

$$ B = \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[(2a+1)^3 - (2a)^3] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(3)$$

Исходя из нашего предположения разность $(2a+1)^3 - (2a)^3$ можно записать следующим образом:

$$ (2a+1)^3 - (2a)^3 = (2c+1)^3-(2b)^3-(2a)^3 $$

Используем формулу бинома Ньютона и распишем это равенство следующим образом:

$$ (2a+1)^3 - (2a)^3 = (2c+1)^3-(2b)^3-(2a)^3 = (2c)^3+(6<2c>+1)-(2b)^3-(2a)^3 =$$

$$ (2c)^3+(6<2c>+1)-(2b)^3-(2a)^3 = (2c)^3-(2b)^3-(2a)^3+(6<2c>+1)=$$

$$ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)=$$

Подставим это выражение в равенство (3) и получим :

$$ B = \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(3)$$

Рассмотрим равенство

$$ \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)] - (4a+1)} =4 .(4)$$

Приступим к его преобразованию:

$$ \frac{6<4a> - 4a }{[ 8(c^3-b^3-a^3)+6<2c>-4a } =4 $$

$$ \frac{2(3<4a> - 2a) }{ 2[4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 $$

После сокращения на 2 получим:

$$ \frac{3<4a> - 2a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 .(5)$$

Разложим треугольное число $<4a>$ с помощью формулы разложения сложного треугольного числа:$<nx>=n<x>+<n-1>x^2$.Представим его следующим образом:
$<4a>=<2(2a)+1>$.Применим формулу разложения и получим:

$$<4a>=<2(2a)+1>= 2<2a>+(2a)^2$$

Продолжим разложение ,вспомнив что $(2a)^2=<2a-1>+<2a>$ :

$$<4a>=<2(2a)+1>= 2<2a>+(2a)^2 = 2<2a>+ <2a>+<2a-1>= $$

$$3<2a>+ <2a>-2a = 4<2a>-2a$$

Подставим это выражение в равенство (5):

$$ \frac{3(4<2a> - 2a)-2a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 $$

$$ \frac{12<2a> - 8a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 $$

Сократим обе части этого равенства на 4 и получим :

$$ \frac{3<2a> - 2a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } = 1 .(6)$$

Умножим обе части этого равенства на знаменатель и получим:

$$3<2a> - 2a = 4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a $$

После сокращения подобных и перегруппировки получим:

$$3(<2c>-<2a>) + 4(c^3-b^3-a^3) =0 $$

Или

$$3(<2c>-<2a>) + 4(c^3 - a^3) - 4b^3=0 $$

Распишем разности:

$$<2c>-<2a> = (c-a)(2c+2a+1) $$

$$c^3 - a^3) =(c-a)(c^2 + ca +a^2) $$

Подставим в полученное равенство:

$$3(c-a)(2c+2a+1) + 4(c - a) (c^2 + ca +a^2) - 4b^3=0 .(7)$$

Замечаем,что равенство (7)может выполнятся в целых числах только когда $b^3$ кратен
$(c-a)$.Пусть $b^3 = k(c-a)$.Подставим в равенство (7) и получим:

$$3(c-a)(2c+2a+1) + 4(c - a) (c^2 + ca +a^2) - 4k(c-a)=0 $$

Сократим на $(c-a) $ и получим:

$$3(2c+2a+1) + 4 (c^2 + ca +a^2) - 4k=0 .(8)$$

Но равенство (8) в целых числах не выполняется никогда,поскольку первый член равенства не чётный,
а остальные- чётные .
Следовательно,наше начальное утверждение из которого и было получено равенство (7) является не верным,что и требовалось доказать.

[lasta]

Все то же самое о чем я писал в предыдущем сообщении. Дополнительно скажу, что не возможно доказать нарушение четности в установленном Вами равенстве подобным методом.

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! Пусть $b = 2^mb_1$, тогда $(2b)^3 =2^{3(m+ 1)}b_1^3$, где m - число натуральное.

Но согласно формуле Абеля следует, что $(2c + 1) - (2a + 1) = 2(c - a)\equiv 0\mod 2^{3(m + 1)}$, отсюда

$c-a\equiv 0\mod 2^{3m + 2}$ , а значит противоречие в (7) исчезает. Пусть b число нечетное , т.е. $m = 0$, тогда

$c-a\equiv 0\mod 2^2$ и в этом случае противоречие в (7) исчезает.

[PhisicBGA]

Уважаемые lasta и vasili !Спасибо за замечания.Я понял. Необходимо подумать-есть ли выход из данной ситуации.

[lasta]

PhisicBGA в сообщении #1106081 писал(а):

Подставим в полученное равенство:

$$3(c-a)(2c+2a+1) + 4(c - a) (c^2 + ca +a^2) - 4b^3=0 .(7)$$

Замечаем,что равенство (7)может выполнятся в целых числах только когда $b^3$ кратен
$(c-a)$.

Преобразованием Бинома и сокращением на 2 равенство (7) получается сразу из исходного (1)

$$ (2c+1)^3- (2a+1)^3 -(2b)^3 = 0 $$

Треугольные числа в Ваших обозначениях только маскируют Вашу ошибку. Если правильно преобразовать $4b^3$, то нарушение четности исчезнет.

[PhisicBGA]

Хорошо.Поступим следующим образом.


Предположим ,что сумма кубов двух произвольных целых чисел $x=(2a+1)$ и $ 2b $,где
$ a $ и $b$-целые числа равна кубу некоторого целого числа $z=(2c+1)$,где
$ c $- целое число т.е. справедливо равенство:

$$ (2a+1)^3 + (2b)^3 = (2c+1)^3 .(1)$$

Рассмотрим целое число $x_{1}= (4a+1)$.Для куба этого числа запишем основное выражение константы
B:

$$ B = \frac{(4a+1)^3- (4a+1)}{[(2a+1)^3+(2a)^3] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(2)$$

Запишем теперь производное выражение константы B для его единичного приращения:

$$ B = \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[(2a+1)^3 - (2a)^3] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(3)$$

Исходя из нашего предположения разность $(2a+1)^3 - (2a)^3$ можно записать следующим образом:

$$ (2a+1)^3 - (2a)^3 = (2c+1)^3-(2b)^3-(2a)^3 $$

Используем формулу бинома Ньютона и распишем это равенство следующим образом:

$$ (2a+1)^3 - (2a)^3 = (2c+1)^3-(2b)^3-(2a)^3 = (2c)^3+(6<2c>+1)-(2b)^3-(2a)^3 =$$

$$ (2c)^3+(6<2c>+1)-(2b)^3-(2a)^3 = (2c)^3-(2b)^3-(2a)^3+(6<2c>+1)=$$

$$ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)=$$

Подставим это выражение в равенство (3) и получим :

$$ B = \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)] - (4a+1)} =\operatorname{const} =4 .(3)$$

Рассмотрим равенство

$$ \frac{(6<4a> +1)- (4a+1)}{[ 8(c^3-b^3-a^3)+(6<2c>+1)] - (4a+1)} =4 .(4)$$

Приступим к его преобразованию:

$$ \frac{6<4a> - 4a }{[ 8(c^3-b^3-a^3)+6<2c>-4a } =4 $$

$$ \frac{2(3<4a> - 2a) }{ 2[4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 $$

После сокращения на 2 получим:

$$ \frac{3<4a> - 2a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 .(5)$$

Разложим треугольное число $<4a>$ с помощью формулы разложения сложного треугольного числа:$<nx>=n<x>+<n-1>x^2$.Представим его следующим образом:
$<4a>=<2(2a)+1>$.Применим формулу разложения и получим:

$$<4a>=<2(2a)+1>= 2<2a>+(2a)^2$$

Продолжим разложение ,вспомнив что $(2a)^2=<2a-1>+<2a>$ :

$$<4a>=<2(2a)+1>= 2<2a>+(2a)^2 = 2<2a>+ <2a>+<2a-1>= $$

$$3<2a>+ <2a>-2a = 4<2a>-2a$$

Подставим это выражение в равенство (5):

$$ \frac{3(4<2a> - 2a)-2a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 $$

$$ \frac{12<2a> - 8a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } =4 $$

Сократим обе части этого равенства на 4 и получим :

$$ \frac{3<2a> - 2a }{ [4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a] } = 1 .(6)$$

Умножим обе части этого равенства на знаменатель и получим:

$$3<2a> - 2a = 4(c^3-b^3-a^3)+3<2c>- 2a $$

После сокращения подобных и перегруппировки получим:

$$3(<2c>-<2a>) + 4(c^3-b^3-a^3) =0 .(7)$$

Рассмотрим частный случай,когда $b = a$,т.е. сумму кубов соседних чисел:
Тогда равенство (1) приобретает следующий вид:

$$ (2a+1)^3 + (2a)^3 = (2c+1)^3 .(8)$$

А равенство (7) приобретает такой вид:

$$3(<2c>-<2a>) + 4[c^3- 2(a)^3] =0 .(9)$$

Распишем разность:

$$<2c>-<2a> = (c-a)(2c+2a+1) $$

Подставим это выражение в (9) и перенесём второй член суммы в правую часть:

$$3(c - a)(2c+2a+1) = 4 [2(a)^3 -c^3] .(9) $$

Из равенства (8) следует ,что $c >a $.Тогда можно положить $c= a + n $, где $n$-целое число.Тогда равенство (9) будет :

$$3(n)(4a+2n+1) = 4 [2(a)^3 -(a+n)^3] .(9) $$

Распишем $(a+n)^3 = a^3+3a^2n+3an^2+n^3$
Подставим в (9):

$$3(n)(4a+2n+1) = 4 [(a)^3 - 3a^2n-3an^2-n^3] .(9) $$

Что бы равенство (9) выполнялось в целых числах $a$ должно быть кратно $n$
Пусть $a = kn$ , где $a = kn$
Подставим в равенство (9):

$$3(n)(4kn+2n+1) = 4 [(kn)^3 - 3k^2n^3-3kn^3-n^3] $$

Или

$$3(n)(4kn+2n+1) = 4n^3 [(k)^3 - 3k^2-3k- 1] $$

Сократим на $n$ и получим:

$$ 3(4kn+2n+1) = 4n^2 [(k)^3 - 3k^2-3k- 1] .(10) $$

У меня вопрос к уважаемым участникам форума: может ли равенство (10) выполняться в целых числах?

[lasta]

То о

PhisicBGA в сообщении #1106202 писал(а):

У меня вопрос к уважаемым участникам форума: может ли равенство (10) выполняться в целых числах?

Уважаемый PhisicBGA! То, о чем писал vasili можно выразить по другому.

$$(2c+1)-(2a+1)=m^3$$

Тогда

$$c-a=n=\frac{m^3}{2}$$

и

$$n^2=\frac{m^6}{2^2}$$

Подставляем $n^2$ в (10). $c$ - по четности не ограничено и может быть четным. Тогда $m$ - не четное. поэтому за счет знаменателя четверка сокращается и ни каких противоречий.

[PhisicBGA]

lasta писал(а):

Подставляем $n^2$ в (10). $c$ - по четности не ограничено и может быть четным. Тогда $m$ - не четное. поэтому за счет знаменателя четверка сокращается и ни каких противоречий.

Уважаемый lasta !Я Вам очень благодарен за то,что Вы так подробно всё расписали.Но устранение противоречия по чётности-это пол беды.Давайте действительно подставим

$$c-a=n=\frac{m^3}{2}$$

и

$$n^2=\frac{m^6}{4}$$

в равенство (10) и получим:

$$ 3(2km^3+m^3+1) = m^6 [(k)^3 - 3k^2-3k- 1] .(10) $$

Как Вы видите в равенстве (10) в правой части стоит выражение кратное $m$ , а в левой- выражение ,которое может быть кратным $m$ лишь при условии $m =3 $.Пусть $m =3 $.
Подставим в (10) и получим:

$$ 3(2k3^3+3^3+1) = 3^6 [(k)^3 - 3k^2-3k- 1] .(10) $$

Сократим на 3 и получим:

$$ (2k3^3+3^3+1) = 3^5 [(k)^3 - 3k^2-3k- 1] .(10) $$

Опять плохо:в правой части стоит выражение кратное $3$ , а в левой- выражение ,которое не может быть кратным 3.
Что с этим будем делать?