Мощность

[maximk]

Подскажите пожалуйста источник, где можно найти пример множества мощности большей мощности счетного множества, но меньше мощности континуума.

[Dan B-Yallay]

Вы про континуум-гипотезу слышали?

[maximk]

Dan B-Yallay, слышал, в связи с этим и задаю вопрос. Ведь ее можно как принять, так и отвергнуть, так?

[svv]

Верно.
Но если бы можно было конструктивно задать «промежуточное» множество, был бы у нас выбор — принять или отвергнуть континуум-гипотезу?

[maximk]

Полагаю, что да. Если это неверно, то почему же?

[Otta]

maximk в сообщении #1105925 писал(а):

Полагаю, что да.

Отлично. И что бы Вы, в таком случае, выбрали?

[Mikhail_K]

maximk, такого примера построить нельзя, вне зависимости от того, принимаем мы или отвергаем гипотезу континуума, по тривиальной причине. Подумайте, почему. Подумайте также, почему отсутствие конструктивного примера множества промежуточной мощности не означает отсутствия множеств промежуточной мощности.

[maximk]

Otta, например принять континуум-гипотезу.
Mikhail_K, спасибо, подумаю.

[svv]

Ну как же принять, когда есть контрпример?

[maximk]

svv, логично, принял.
Mikhail_K, пока не понял, почему вне зависимости от принятия гипотезы. Если бы мы построили такой пример, то мы бы противоречили континуум-гипотезе в случае ее принятия, ибо по этой гипотезе такое множество должно быть либо счетным, либо континуальным. Пусть конструктувный пример отсутствует. Если отсутствует и неконструктивный пример, то мы получаем противоречие с его существованием в случае отказа от континуум-гипотезы.

[Mikhail_K]

maximk в сообщении #1106086 писал(а):

Если отсутствует и неконструктивный пример

Неконструктивный пример построить очень легко, если принять аксиому о существовании промежуточного множества. А именно такой: "Согласно аксиоме о существовании промежуточного множества, существует хотя бы одно множество промежуточной мощности. Возьмём одно из таких множеств и обозначим его через $M$. Тогда $M$ - пример множества промежуточной мощности".
По-моему, это очень даже "неконструктивный пример".

То есть, если при построении примера Вы запрещаете пользоваться аксиомой о существовании промежуточного множества, то построить пример нельзя в силу неопровержимости континуум-гипотезы. Если же разрешаете, то вот он - см. рассуждение выше. Догадываюсь, что такой пример вряд ли Вам понравится. Но ведь во всех "неконструктивных примерах" делается примерно то же самое - доказывается существование множества без его конкретного построения, доказывается с опорой на аксиомы - там аксиому выбора и другие. Просто не всегда доказательство такое короткое.

-- 12.03.2016, 21:30 --

Вообще, задумайтесь над тем, что множество всех подмножеств отрезка $[0,1]$ имеет мощность гиперконтинуума. Но из этого гиперконтинуума только очень малое - пренебрежимо малое - количество множеств можно как-то описать, задать какой-то формулой или построить в результате какого-то рассуждения. Потому что множество всех возможных математических формул и математических рассуждений счётно, и поэтому счётно также количество множеств, которые можно задать какой-то формулой, или вообще как-то построить.

Вот и множество промежуточной мощности, даже если оно существует, не входит в это счётное количество (при запрете на использование аксиомы о его существовании). Можно считать, что оно настолько сложное, что его описание находится за гранью человеческих возможностей.

[Mikhail_K]

maximk в сообщении #1106086 писал(а):

Если отсутствует и неконструктивный пример, то мы получаем противоречие с его существованием

Кстати, даже отсутствие неконструктивного примера ничего не доказывает и не опровергает. Если из некоторого количества аксиом в принципе нельзя вывести утверждение о существовании множества с некоторыми свойствами (т.е. не существует примера), это совсем не значит, что из этих аксиом можно вывести утверждение об отсутствии такого множества.

[maximk]

Mikhail_K, все же речь идет о человеческих возможностях или о возможностях нынешней математики?

[INGELRII]

maximk
Ну а под силу ли человеку представить себе множество мощностью континуум? Я даже больше скажу, под силу ли человеку представить себе счетное множество? Я даже еще больше скажу, под силу ли человеку представить себе конечное множество из $100500$ элементов?

Однако современная математика со всеми этими множествами как-то управляется. Вообще надо различать такие вещи, как "представлять" себе некий объект, и "оперировать" с этим объектом. К примеру, я не знаю, как устроен мой смартфон, не могу своими руками смастерить себе такой же, или починить его, если он поломается - но легко могу с него звонить.

[maximk]

Mikhail_K в сообщении #1106091 писал(а):

maximk в сообщении #1106086 писал(а):

Если отсутствует и неконструктивный пример

Можно считать, что оно настолько сложное, что его описание находится за гранью человеческих возможностей.

Что не отрицает существования этого описания.

INGELRII, зависит от человека.

INGELRII в сообщении #1106514 писал(а):

maximk
К примеру, я не знаю, как устроен мой смартфон, не могу своими руками смастерить себе такой же, или починить его, если он поломается - но легко могу с него звонить.

Что не отрицает существование человека, знающего, как устроен смартфон.

Значение оперирования отличается от знания устройства, согласен.