Численное решение систем нелинейных алгебраических уравнений

[immater1um]

Добрый день.

В общем случае задача формулируется так: нужно решить в $\mathbb{C}$ большую систему нелинейных алгебраических уравнений. В некоторых случаях я довольно хорошо могу выбрать начальное приближение, но не всегда. Также из некоторых соображений возможно сузить область до круга заданного радиуса. Я пока что думал использовать метод последовательных приближений Ньютона.

У кого есть опыт в подобных делах, подскажите пожалуйста какими численными методами сейчас такое вообще решают. И можете ли вы посоветовать какую-нибудь проверенную реализацию метода, распространяемую по академической лицензии.

P.S. NSolve в вольфраме не эффективен.

[Andrey_Kireew]

Метод Ньютона безусловно хорош, в случае СНАУ думаю это лучший выбор. Правда у него часто бывает очень узкая область сходимости. Но это решаемо, вводится настраиваемый параметр сходимости
$\theta[k+1]=\theta[k]-\mu J^{-1}\Delta$, где $J, \Delta$ - матрица Якоби и невязка.
При $\mu=1$ это классический метод Ньютона, при уменьшении этого параметра область сходимости расширяется, правда сходимость становится линейной. Поэтому по мери приближения к решению $\mu$ желательно постепенно уменьшать до нуля, разумеется при сохранении сходимости.
Если пишите на С, то думаю связываться с каким либо специализированным ПО не стоит, потратите больше времени на его изучение, да и результаты потом не сможете использовать как вам захочется (конечно если это не одноразовое вычисление).

[immater1um]

Andrey_Kireew, спасибо за ответ. А не могли бы вы дать ссылку на статью/литературу, где обсуждается настраиваемый параметр сходимости, как его использовать и как он влияет на сходимость.

Кажется удивительным, что при таком развитии в области CS, когда для каждой задачи гуглится алгоритм который работает на верхнем ограничении по сложности, для такой тупой задачи не находится ничего кроме метода Ньютона. Как будто массив пузырьком сортирую.

[Andrey_Kireew]

Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. Физмат лит, 2002г. Можно скачать в инете, в формате DJVU. Со страницы 215 об этом начинается , там же и другие методы рассмотрены. Только сразу предупреждаю, в этой книге всё в виде математических формул, готовых программ и алгоритмов нет. Не знаю как Вам это подойдёт, лично для меня в таком виде информация воспринимается даже проще, чем разбираться в запутанных программах.
Ещё помню есть книга Винберг Э.Б. Алгебра многочленов/ учебное пособие для студентов заочников. -М.: Просвещение, 1980г. там на странице 97 о СНАУ кое что написано, кажется только аналитические методы решения, но тоже может быть полезно.
На счёт того, что ничего кроме метода Ньютона не находится, так это скорее от того, что ничего эффективнее этого метода никто ещё не придумал, правда не к каждой задаче его удаётся применить, да и вычислительная сложность у него довольно большая, вот в таких случаях и используют другие методы, но ни один из них не сможет сравнится с методом Ньютона по скорости сходимости.