Число в последовательности

[Ktina]

Последовательность 3 4 5 6 8 9 10 13 14 18 26 ... - это последовательность натуральных чисел, представимых в виде суммы ровно трёх факториалов.
Найдётся ли в ней число, равное $p^2-2$, где $p$ - простое?

[Sirion]

Если все три факториала чётны, сумма тоже должна быть чётна, что возможно лишь при $p = 2$, а этот случай очевидно не подходит. Значит, один из факториалов равен единице. Тогда переформулируем задачу: можно ли разложить $p^2-3$ в сумму двух факториалов? Опять же, если оба факториала делятся на три, это может быть только в случае $p = 3$, и этот вариант тоже не подходит. Значит, один из оставшихся факториалов равен двойке (если единице, там опять проблема с чётностью). Переформулируем задачу ещё раз: существует ли факториал, равный $p^2-5$ ? Если факториал делится на пять, то p должно равняться пяти, но 20 - не факториал. Итого, ответ - нет.

[Ktina]

Sirion
Спасибо!