Вопрос по дзета-функции Римана

[Skipper]

Известно что, возведение в степень - бинарная операция только в случае, если эта степень
является целым числом. (приводит к единственному результату).
Если степень - дробное, рациональное число, то результатов может быть много, конечное количество,
в поле комплексных чисел. Скажем, возведение в степень $1/5$ даст $5$ результатов.
Если же степень - вещественное число, то результатов бесконечное
количество. Они как бы помещаются на некую окружность в плоскости комплексных чисел.

Возведение в комплексную степень, аналогично, должно дать бесконечное количество результатов.

Дзета-функция Римана представляет собой сумму ряда, каждый член которого содержит целое
число, возводимое в комплексную степень. (т.е. показателем степени может быть комплексное число).
Это значит, что каждый член ряда - имеет уже не одно значение, а бесконечное количество значений.

Но сама дзета-функция принимая какой то комплексный параметр, почему-то приводит к единственному результату -
комплексному числу.

Т.е. сумма членов, каждый из которых - неоднозначен, почему то приводит к однозначному результату?

Объясните, почему же так происходит. И как вообще можно суммировать что-то, какие то члены в последовательности,
если каждый из этих членов - имеет бесконечное количество вариантов?
Спасибо.

[gris]

Берутся главные значения степени.

[Skipper]

Как это?
Каждый член в ряду имеет какое то одно, привилегированное комплексное значение?
И какое?

[NSKuber]

Skipper
Подозреваю, вот так:
$n^z=n^x n^{iy} = n^x e^{iy\ln n}$.
$x, y$ - вещественные числа, $n^x$ - тоже (вещественная степень положительного числа вполне определяется без комплексных чисел), ну а экспонента отвечает за аргумент.

[Sonic86]

Не ну ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов.
$\alpha^\beta := \exp (\beta\cdot \ln \alpha)$, где $\ln\alpha$ - это главное значение логарифма $\operatorname{Ln}\alpha = \ln |\alpha|+i(\arg \alpha + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$ (т.е. когда $k=0$)
Если число $z$ отрицательное, то $\arg z = \pi i$ и тогда $(-1)^1=\exp(\pi i)=-1$

[Brukvalub]

Sonic86 в сообщении #1104074 писал(а):

Не ну ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов.
$\alpha^\beta := \exp (\beta\cdot \ln \alpha)$, где $\ln\alpha$ - это главное значение логарифма $\operatorname{Ln}\alpha = \arg \alpha + 2\pi i k, k \in \mathbb{Z}$ (т.е. когда $k=0$)

Несомненно, "ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов" , и иногда - повторять!

[Sonic86]

(Brukvalub)

Brukvalub в сообщении #1104080 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1104074 писал(а):

Не ну ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов.
$\alpha^\beta := \exp (\beta\cdot \ln \alpha)$, где $\ln\alpha$ - это главное значение логарифма $\operatorname{Ln}\alpha = \arg \alpha + 2\pi i k, k \in \mathbb{Z}$ (т.е. когда $k=0$)

Несомненно, "ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов" , и иногда - повторять!:D

Ну ладно я же сам нашел ошибку и исправил. Так что повторил!

[Skipper]

Ну и где вы избавились от вещественной степени? Число, возведенное не только в комплексную, а и в вещественную
степень - дает бесконечное количество результатов в поле комплексных чисел. Если только степень не целое (тогда
единственный результат), или не рациональное (тогда конечное количество вариантов).

Цитата:

вещественная степень положительного числа вполне определяется без комплексных чисел

Это в поле вещественных чисел. А Дзета-функция Римана - принимает аргументы - комплексные числа, и
возвращает комплексное число. (полностью определена и работает в поле комплексных чисел)
С какой стати, ее члены, которые содержат возведение чисел в компклексные степени, нужно как то ограничивать,
какими то привилегированными значениями?


Тогда одно из двух.
1) или для дзета-функции, определение понятие "возведение в степень" - некое другое, отличающееся
от общего понятия возведения в степень.
2) или доказано, что можно брать привилегированные значения возведения в степень, и общий результат (сумма ряда)
будет тот же.

-- Пт мар 04, 2016 12:43:05 --

Sonic86, у вас $\beta$ - вещественный показатель степени, NSKuber, а у вас - $x$ и $y$.

Целые тут - только числа, которые сами возводятся в степень.

[gris]

Есть степенная функция, которая многозначна, а есть комплексная степень комплексного числа, которая (часто по умолчанию) определена однозначно, как было написано. Фихтенгольц называет её "главным значением степени". Ряд, через который определяется зета-функция, не функциональный, а числовой, и степени там определены однозначно для любых аргументов именно как главное значение степенной функции. Другое дело, что чаще всего это умалчивается. Может быть Вас заинтересовало обобщение зета-функции на случай, когда берутся не главные, а другие значения, но с одного листа?

[Someone]

Skipper в сообщении #1104098 писал(а):

Тогда одно из двух.
1) или для дзета-функции, определение понятие "возведение в степень" - некое другое, отличающееся
от общего понятия возведения в степень.
2) или доказано, что можно брать привилегированные значения возведения в степень, и общий результат (сумма ряда)
будет тот же.

И то, и другое — ерунда. На действительной оси при $x>1$ ряд $\zeta(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^x}$ никаких проблем с многозначностью не имеет, поскольку степень положительного действительного числа с действительным показателем даёт вполне определённое положительное действительное число. А дальше работает теорема единственности из ТФКП, которая утверждает, что существует не более чем одно аналитическое продолжение этой функции в комплексную область. Поскольку известно, что в конечной области у этого продолжения имеется единственная особая точка (полюс в точке $z=1$), то многозначность тут никак возникнуть не может. Хотя функция $a^z$ формально и является многозначной на комплексной плоскости, но её ветви между собой никак не связаны, и если зафиксировать значение степени в одной точке (например, положить $a^0=1$), то это однозначно определяет $a^z$ на всей комплексной плоскости.

[Skipper]

Someone, спасибо!

Цитата:

Хотя функция $a^z$ формально и является многозначной на комплексной плоскости, но её ветви между собой никак не связаны, и если зафиксировать значение степени в одной точке (например, положить $a^0=1$), то это однозначно определяет $a^z$ на всей комплексной плоскости.

А какая будет точная формула для вычисления члена последовательности для Дзета-функции, для $a^z$, где $a$ - натуральное число, а $z = d + it$, $d$ и $t$ - вещественные числа.

Формула для этого $a^{d + it}$ должна выдать единственный результат, т.е. единственное комплексное число.
$a^{d + it} = a^d \cdot a ^{it}$.
$a^d$ - определяется, как вещественная степень положительного числа без комплексных чисел - т.е. один результат, только в поле вещественных чисел, так?

$a ^{it}$, тоже должна определяться единственным образом. Если определить,
$a ^{it} = e ^ {it \ln a}$, то как единственным образом ее вычислять?
При вещественном (нецелом) параметре $t$ в степени.

$\ln a$ где a - вещественное, определяем, тоже, как логарифм, в поле вещественных чисел, правильно?

Тогда $e ^ {it \ln a} = (e ^ {it}) ^ {\ln a} $ , пусть $\ln a$ = r , где $r$ - вещественное число.
Имеем формулу, в которой нужно число $e$ возвести сначала чисто во мнимую степень, с иррациональным модулем (расстоянием от точки 0), а затем, в иррациональное вещественное число.
Как получить тут однозначное возведение в степень?

[NSKuber]

Skipper в сообщении #1104118 писал(а):

$a ^{it} = e ^ {it \ln a}$, то как единственным образом ее вычислять?
При вещественном (нецелом) параметре t в степени.

Про формулу Эйлера слыхали?

[Brukvalub]

Skipper в сообщении #1104098 писал(а):

Тогда одно из двух.
1) или для дзета-функции, определение понятие "возведение в степень" - некое другое, отличающееся
от общего понятия возведения в степень.
2) или доказано, что можно брать привилегированные значения возведения в степень, и общий результат (сумма ряда)
будет тот же.

Нет, здесь наблюдается третье: агрессивное невежество и запутывание тривиального вопроса.
NSKuber давно все объяснил, а потом еще раз все объяснил, напомнив про формулу Эйлера.
Осталось чуть-чуть подумать, а, если и потом ясности не появится, то нужно не продолжать писАть возрастающие объемы явных глупостей на форуме, а открыть учебник по азам ТФКП и "покурить" его.