Хотя указанное доказательство легко обобщается и на другие степени.
Вы про доказательство достопочтенного
Ивана Лоха (оно не его, он это место просто из статьи переписал)? Я, пожалуй, верю, что обобщается, да так ли уж легко? У меня что-то такое ощущение, что там писать и писать.
Вот другое доказательство (не мной выдуманное, оговорюсь сразу).
Итак, пусть есть многочлен
с целыми коэффициентами, такой что все его значения в целых точках суть
-е степени целых чисел; требуется доказать, что
есть
-я степень некоего многочлена.
Для простоты рассмотрим сперва случай, когда степень
кратна
и старший коэффициент
.
Вот
; извлечём корень
-й степени:
Разложим корень в правой части в ряд по степеням
при
:
где
обозначает бесконченый ряд, составленный из положительных степеней
. Числа
рациональны; домножим последнее равенство на целое число
, так чтобы все эти числа по домножении стали целыми; будем иметь
где
- многочлен с целыми коэффициентами.
Левая часть последнего равенства есть целое число для всех целых
,
тоже, а
при
; поэтому для больших целых
должно быть
(в частности для всех
, при которых частичные суммы ряда окончательно становятся меньше
по абсолютной величине). Следовательно
, чем и завершается расмотрение этого случая кратной степени.
Общий случай исчерпывается, например, применением вышеприведённого рассуждения к многочлену
, где целые числа
следует выбирать так, чтобы многочлены-сомножители попарно не имели общих корней.