Агатовые числа

[svv]

(Оффтоп)

Убрал.

[DeBill]

Dmitriy40 в сообщении #1094545 писал(а):

ж) если зачёркивать ещё больше цифр, то и чисел становится больше, но всё равно сильно ограниченно.

Однако взгляд со стороны svv показывает, что их таки конечное число.
Интересно было бы найти - ну пусть и очень грубую - оценку сверху их количества...

[Dmitriy40]

DeBill в сообщении #1102476 писал(а):

Интересно было бы найти - ну пусть и очень грубую - оценку сверху их количества...

Т.е. зависимость величины последнего числа от количества зачёркиваемых цифр? Или общего количества чисел от количества зачёркиваемых цифр? Первое интереснее, т.к. для второго слишком много чисел попадают в диапазоны $[k \cdot 10^n \dots k \cdot 10^n+10^n-1]$ (т.е. после зачёркивания $n$ цифр дают один и тот же куб натурального числа).
Запустил перебор, через пару дней будет вменяемая статистика. Сейчас есть результаты лишь для степеней 3, 4, 5 для зачёркиваемых цифр до 11, 18 и 24 соответственно, остальное пока недостоверно.

[Dmitriy40]

Некоторые промежуточные результаты.
В таблице приведены только точные основания степеней, дающие максимально возможные числа до зачёркивания цифр, сами числа слишком длинные, а этих данных достаточно для восстановления всех прочих.
Тривиальные случаи, когда после зачёркивания остаётся лишь одна цифра 1, не приведены. Также не приведены не менее тривиальные случаи кратного отношения показателя степени и количества зачёркиваемых цифр - таких решений бесконечно много. Данные в колонках ниже некоторые есть, но они явно недостоверны и потому тоже не приведены.
n - сколько цифр справа зачёркивается.

Используется синтаксис Text

 n            x^3            x^4            x^5            x^6            x^7            x^8            x^9           x^10
 1              -              -              -              -              -              -              -              -
 2           14^3              -              -              -              -              -              -              -
 3              -              -            8^5              -              -              -              -              -
 4          237^3              -              -              -              -              -              -              -
 5         1114^3           36^4              -              -              -              -              -              -
 6              -           95^4              -              -              -              -              -              -
 7        24776^3          225^4              -              -              -           15^8              -              -
 8        40846^3              -           80^5              -              -              -              -              -
 9              -         1067^4              -              -              -              -              -              -
10      1055673^3         1266^4              -           93^6              -              -              -              -
11      2246529^3         4499^4          634^5              -              -              -              -              -
12              -              -         1256^5              -              -              -              -              -
13              -       120923^4         1195^5          294^6          144^7              -              -              -
14              -       113842^4         2524^5          432^6              -              -              -              -
15              -       163079^4              -          634^6          278^7          150^8              -              -
16              -              -         6340^5          930^6              -              -              -              -
17              -      1813845^4        22607^5         2044^6          537^7              -              -              -
18              -      1423025^4        23887^5              -          746^7              -              -              -
19              -      9334866^4        37858^5         7339^6         1037^7              -              -              -
20              -              -              -         8618^6         1440^7              -              -              -
21              -              -       237734^5         9489^6              -              -              -              -
22              -              -       376783^5        23208^6         5558^7         1125^8              -         317^10
23              -              -       437918^5        27252^6         3865^7         1500^8              -              -
24              -              -      1198819^5              -         5371^7              -              -              -
25              -              -              -       117424^6        18638^7         2668^8         1199^9              -
26              -              -      3962233^5       107722^6        20718^7         3558^8              -              -
27              -              -      5023773^5       284605^6        50378^7         4745^8              -              -
28              -              -              -       417743^6              -         9487^8              -        1262^10
29              -              -              -       613163^6        55580^7        12651^8              -              -
30              -              -              -              -        96535^7        11252^8         4309^9              -
31              -              -              -      2054919^6       134135^7        22497^8         5566^9        2518^10
32              -              -              -      2154435^6       186380^7              -         7189^9        3170^10
33              -              -              -      4110961^6       414358^7        40006^8         9285^9              -
34              -              -              -      5105748^6       503780^7        53349^8        11992^9        5024^10
35              -              -              -      9538089^6              -        94855^8        23228^9        6325^10
36              -              -              -              -       972647^7        94870^8              -              -
37              -              -              -              -      1737628^7       126511^8        51662^9       10024^10
38              -              -              -              -      1609618^7       168705^8        33369^9       12620^10
39              -              -              -              -      2982075^7       299958^8        43098^9       15888^10
40              -              -              -              -      4143580^7              -        83477^9              -
41              -              -              -              -      5037800^7       533409^8       107815^9       25180^10
42              -              -              -              -              -       711313^8       139248^9       31700^10
43              -              -              -              -              -      1185687^8       179846^9       39909^10
44              -              -              -              -              -      1581139^8       232280^9       50242^10
45              -              -              -              -              -      2108483^8              -       63251^10
46              -              -              -              -              -      3374048^8       516620^9       79629^10
47              -              -              -              -              -      3749472^8       500432^9      100247^10
48              -              -              -              -              -              -       861774^9      126203^10
49              -              -              -              -              -      8001129^8      1113024^9      158881^10
50              -              -              -              -              -     12447956^8      1437526^9              -
51              -              -              -              -              -              -      1856636^9      377678^10
52              -              -              -              -              -              -      2397938^9      475468^10
53              -              -              -              -              -              -      3097056^9      798105^10
54              -              -              -              -              -              -              -      753567^10
55              -              -              -              -              -              -      7749298^9      948684^10
56              -              -              -              -              -              -      8340503^9     1194323^10
57              -              -              -              -              -              -              -     2004749^10
58              -              -              -              -              -              -              -     1892875^10
59              -              -              -              -              -              -              -     3177313^10
60              -              -              -              -              -              -              -              -
61              -              -              -              -              -              -              -     5035702^10
62              -              -              -              -              -              -              -     7924466^10
63              -              -              -              -              -              -              -     7981050^10
64              -              -              -              -              -              -              -    10047546^10

Интересно что для некоторых сочетаний степени и количества зачёркиваемых цифр решений не найдено вообще ни одного. Например для зачёркивания 33-х или 36-ти цифр у 10-й степени.
Не менее интересны яркие "отрывы" в начале, $8^5, 15^8, 150^8, 317^{10}$.

[Dmitriy40]

Переделал алгоритм счёта, за пару часов нашёл в миллиарды раз больше результатов. Вот все более-менее надёжные цифры:

Используется синтаксис Text

  n          x^3               x^4                    x^5                    x^6                  x^7                x^8              x^9             x^10
  1            -                 -                      -                      -                    -                  -                -                -
  2         14^3                 -                      -                      -                    -                  -                -                -
  3            -                 -                    8^5                      -                    -                  -                -                -
  4        237^3                 -                      -                      -                    -                  -                -                -
  5       1114^3              36^4                      -                      -                    -                  -                -                -
  6            -              95^4                      -                      -                    -                  -                -                -
  7      24776^3             225^4                      -                      -                    -               15^8                -                -
  8      40846^3                 -                   80^5                      -                    -                  -                -                -
  9            -            1067^4                      -                      -                    -                  -                -                -
 10    1055673^3            1266^4                      -                   93^6                    -                  -                -                -
 11    2246529^3            4499^4                  634^5                      -                    -                  -                -                -
 12            -                 -                 1256^5                      -                    -                  -                -                -
 13  343007547^3          120923^4                 1195^5                  294^6                144^7                  -                -                -
 14  774402681^3          113842^4                 2524^5                  432^6                    -                  -                -                -
 15            -          163079^4                      -                  634^6                278^7              150^8                -                -
 16            -                 -                 6340^5                  930^6                    -                  -                -                -
 17            -         1813845^4                22607^5                 2044^6                537^7                  -                -                -
 18            -         1423025^4                23887^5                      -                746^7                  -                -                -
 19            -         9334866^4                37858^5                 7339^6               1037^7                  -                -                -
 20            -                 -                      -                 8618^6               1440^7                  -                -                -
 21            -        21161525^4               237734^5                 9489^6                    -                  -                -                -
 22            -        54074948^4               376783^5                23208^6               5558^7             1125^8                -           317^10
 23            -       368333568^4               437918^5                27252^6               3865^7             1500^8                -                -
 24            -                 -              1198819^5                      -               5371^7                  -                -                -
 25            -       850017558^4                      -               117424^6              18638^7             2668^8           1199^9                -
 26            -      1460972279^4              3962233^5               107722^6              20718^7             3558^8                -                -
 27            -      8862499285^4              5023773^5               284605^6              50378^7             4745^8                -                -
 28            -                 -             16322394^5               417743^6                    -             9487^8                -          1262^10
 29            -     18245146747^4             18297763^5               613163^6              55580^7            12651^8                -                -
 30            -     52557054712^4                      -                      -              96535^7            11252^8           4309^9                -
 31            -    149189153573^4             90338912^5              2054919^6             134135^7            22497^8           5566^9          2518^10
 32            -                 -            110523003^5              2154435^6             186380^7                  -           7189^9          3170^10
 33            -    548243542115^4            270712876^5              4110961^6             414358^7            40006^8           9285^9                -
 34            -   2554171666118^4            353336113^5              5105748^6             503780^7            53349^8          11992^9          5024^10
 35            -   5267451193058^4                      -              9538089^6                    -            94855^8          23228^9          6325^10
 36            -                 -           2313944061^5                      -             972647^7            94870^8                -                -
 37            -  16310378748877^4           2788193939^5             20549190^6            1737628^7           126511^8          51662^9         10024^10
 38            -  47083152082247^4          10788704322^5             30162086^6            1609618^7           168705^8          33369^9         12620^10
 39            -                 -          25490676717^5             56920998^6            2982075^7           299958^8          43098^9         15888^10
 40            -                 -                      -             88190188^6            4143580^7                  -          83477^9                -
 41            -                 -          61176877229^5            177135938^6            5037800^7           533409^8         107815^9         25180^10
 42            -                 -          48228219485^5                      -                    -           711313^8         139248^9         31700^10
 43            -                 -         193480084889^5            499051751^6           13894955^7          1185687^8         179846^9         39909^10
 44            -                 -         254906767170^5            667874754^6           17376280^7          1581139^8         232280^9         50242^10
 45            -                 -                      -            885437745^6           26826958^7          2108483^8                -         63251^10
 46            -                 -         611768772290^5           1346060762^6           41003531^7          3374048^8         516620^9         79629^10
 47            -                 -        1572440906125^5           9401830553^6           51794747^7          3749472^8         500432^9        100247^10
 48            -                 -        3073387356673^5                      -          107952851^7                  -         861774^9        126203^10
 49            -                 -        3249430324073^5           8660015679^6                    -          8001129^8        1113024^9        158881^10
 50            -                 -                      -           7109634478^6          250109189^7         12447956^8        1437526^9                -
 51            -                 -        8193897805024^5          18657438195^6          328218614^7         16599616^8        1856636^9        377678^10
 52            -                 -       42475999556827^5          38525187319^6          348750454^7         28460499^8        2397938^9        475468^10
 53            -                 -       50997528547903^5          94018305530^6          521863121^7         25301792^8        3097056^9        798105^10
 54            -                 -       88144741023883^5                      -          828715949^7         39363893^8                -        753567^10
 55            -                 -                      -         132101934086^6         1151497077^7         74989421^8        7749298^9        948684^10
 56            -                 -      667557012664621^5         202516860863^6                    -                  -        8340503^9       1194323^10
 57            -                 -      520462868608785^5         300416377716^6         4446385582^7        120016929^8       10772174^9       2004749^10
 58            -                 -     1665282294425279^5         575557015368^6         5212883868^7        160045147^8       11130242^9       1892875^10
 59            -                 -     2112445189319687^5        1069628548421^6         5365391591^7        213423634^8       21562882^9       3177313^10
 60            -                 -                      -                      -        11555540533^7        284604990^8       23207945^9                -
 61            -                 -    11200440191122689^5        2260410872138^6        14502529102^7        463866154^8       29974214^9       5035702^10
 62            -                 -    23516280771792689^5        5946239744488^6        15113399134^7        618575458^8       46455821^9       7924466^10
 63            -                 -    30988662155884226^5        8000562480226^6                    -       1124841314^8                -       7981050^10
 64            -                 -    37106601428880165^5       22883032949711^6        44463855820^7                  -       77492980^9      10047546^10
 65            -                 -                      -       17713593795507^6       115841863733^7       1733577862^8      133448043^9      12649111^10
 66            -                 -   251158024209312654^5                      -       134134789764^7       1956107352^8      129266082^9      15924288^10
 67            -                 -   330137233693304114^5       37575661251125^6       152831342533^7       3319923188^8      166953565^9      20047491^10
 68            -                 -   478007279683584149^5       59462397444880^6       222717411207^7       3794733193^8      251566957^9      25238296^10
 69            -                 -  1338639102049177998^5       89808685548782^6       244693128821^7       6747144055^8      324911219^9      39716412^10
 70            -                 -                      -      228830329497110^6                    -      11809167829^8      419638976^9                -
 71            -                 -  3395158196890197308^5      316800812111952^6       778117476849^7      15747778396^8      541984579^9      62946271^10
 72            -                 -                      -                      -      1158418637330^7                  -                -      79244660^10
 73            -                 -                      -     1055347673420268^6      1985194888507^7      24003385779^8      904084767^9     119715739^10
 74            -                 -                      -      889781526983168^6      3243006536674^7      44456985251^8     1834910591^9     150713186^10
 75            -                 -                      -     1441998613036781^6      3314863794708^7      49798847819^8     1723547753^9     158113884^10
 76            -                 -                      -     3694704711555772^6      5613548249409^7      53758720223^8     2504303462^9     199053587^10
 77            -                 -                      -     9115687883995522^6                    -      84339300686^8     3593813664^9     250593619^10
 78            -                 -                      -                      -     11949661251609^7     123715091542^8     5105747717^9     378574407^10
 79            -                 -                      -    10891070565755756^6     16604000468396^7     157477783960^8     5395358254^9     476596941^10
 80            -                 -                      -    15619651502731157^6     29509653748077^7                  -     7742636827^9                -
 81            -                 -                      -    35038036474665643^6     35412140342992^7     400056429649^8                -     755355248^10
 82            -                 -                      -    57834196866815225^6     68369065765852^7     497918234811^8    12915496651^9    1267914554^10
 83            -                 -                      -    95925923323360949^6     75566995665121^7     806267059925^8    18349105910^9    1596209852^10
 84            -                 -                      -                      -                    -    1201665510864^8    23698781591^9    1507131861^10
 85            -                 -                      -   191841364278204489^6    191750378223493^7    1222919859943^8    38955831631^9    1897366599^10
 86            -                 -                      -   543563872295044263^6    191139075159442^7    1574555710533^8    43125763966^9    3582964535^10
 87            -                 -                      -  1263962380769301219^6    362163932362763^7    4274396993195^8    60340654837^9    3508310636^10
 88            -                 -                      -  2929306712893024759^6    872256930553696^7                  -    89922637548^9    5047658756^10
 89            -                 -                      -  2250307704098446126^6    833895423356225^7    6000846444735^8   123882189229^9    8737610582^10
 90            -                 -                      -                      -   1424977632542281^7   11558816165253^8                -                -
 91            -                 -                      -  4591276109121833524^6                    -    9959769563779^8   258309933003^9   12589254118^10
 92            -                 -                      -  6465458504785683049^6   5057763599518221^7   12016655108640^8   233534075209^9   20603611502^10
 93            -                 -                      -                      -   5772786209360918^7   33314023770858^8   323165203505^9   17957360835^10
 94            -                 -                      -                      -   8960203956234284^7   35427503486992^8   779116632618^9   22606977884^10
 95            -                 -                      -                      -  13456613330336934^7   50992806234607^8   754700869399^9   31622776602^10
 96            -                 -                      -                      -  24188146752009756^7                  -  1067565431731^9   43791788761^10
 97            -                 -                      -                      -  28859395487346196^7   69343114472493^8  1198968500638^9  110261191398^10
 98            -                 -                      -                      -                    -  115588161652530^8  1316248260559^9   69405307893^10
 99            -                 -                      -                      -  98793129649930086^7  151767917162346^8                -   95319388167^10
100            -                 -                      -                      -  92480421213507683^7  173925271309261^8  2841409263033^9                -