Логарифмические тождества

[Orkimed]

Здравсвуйте.
Никак не могу понять с чего начать доказываться тождественность ,как и где использовать данные условия про прогрессию.
1)
Доказать,что если a,b,c - последовательные (положительные) члены геометрической прогрессии , то
$\frac {\log_a N - \log_b N}{\log_b N - \log_c N}=\frac{\log_a N}{\log_c N} $
2)
Доказать, что если
$(ac)^{\log_a b}=c^{2} $
то для любого положительного значения $ N $ числа $ \log_a N \log_b N \log_c N $ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
Задачки взяты из Справочника А.Г Цыпкина , А.И Пинского .

[iou]

В первом выразите $a, b$ через $c$ и всё получится.

[Orkimed]

iou
А можно подробнее?Не очень понимаю каким образом a,b выразить через с.
Нашёл связь между ближайшими членами геометрической прогрессии,но это тоже ничего не дало.
$\frac{b_n+1}{b_n}=q=\frac{b_n}{b_n-1}\\ b^{2}_n=b_n-1 \cdot b_n+1 $

[iou]

Orkimed в сообщении #1102275 писал(а):

Не очень понимаю каким образом a,b выразить через с.

$a=cq^2, b=cq$

[gris]

2. Надо как-то ввести $N$ в исходное равенство. Что, если его прологарифмировать по основанию $N$

[iou]

Orkimed в сообщении #1102275 писал(а):

$b^{2}_n=b_n-1 \cdot b_n+1 $

Вот это неверно, полагаю, Вы имели ввиду $b^2_n=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

[Orkimed]

iou
Именно.Единица никак не хотела спускаться к n.

-- 26.02.2016, 16:14 --

Прологарифмировав тождество из второго задания получил
$\log_Nb + \log_ab \cdot \log_Nc=2\cdot\log_Nc$

[gris]

2. Отлично. Правда, перед этим не забудьте рассмотреть случай $N=1$. Ну а потом второй логарифм $\log_ab$ тоже запишите в виде отношения логарифмов по основанию $N$. Общий принцип: стараемся всё привести к одному основанию. Потом можно обратить все логарифмы, чтобы перевести логарифмы к требуемому итоговому виду.

[Orkimed]

Привёл к общему основанию и привёл подобные.
$ \log_Nb+\frac{\log_Nb}{\log_Na}\cdot\log_Nc=2\cdot\log_Nc $
$ \frac{\log_Nb\cdot\log_Na+\log_Nb\cdot\log_Nc}{\log_Na}=2\cdot\log_Nc $
$ \frac{\frac{1}{\log_bN}\cdot\frac{1}{\log_aN} + \frac{1}{\log_bN}\cdot\frac{1}{\log_cN}}{\frac{1}{\log_aN}} =\frac{2}{\log_cN} $
$ \frac{1}{\log_bN}+\frac{\log_aN}{\log_bN\cdot\log_cN}=\frac{2}{\log_cN} $
Дальше,как я понимаю,нужно воспользоваться тем,что логарифмы являются последовательными членами арифметической прогрессии,но как это применить понять не могу.
Пытался воспользоваться $a_n=a_1+(n-1)d$,но это привело только к усложнению выражения.

-- 26.02.2016, 18:03 --

Представил
$ \log_bN = \log_aN+d $
$ \log_cN = \log_aN+2d $
Применил к последнему выражению и получил(после приведения подобных):
$ \frac{2(\log_aN+d)}{(\log_aN+d)(\log_aN+2d)}=\frac{2}{\log_aN+2d} $
Вроде тождество доказано.Правильно?

[gris]

Надо догадаться, что должно стоять справа. Слева сумма крайних членов прогрессии, а справа удвоенный средний член, то есть логарифм. Не $\log_cN$, а $\log_bN$
То есть достаточно Вашу первую сроку в последнем сообщении разделить на два этих логарифма.

[DeBill]

Orkimed в сообщении #1102318 писал(а):

Дальше,как я понимаю,нужно воспользоваться тем,что логарифмы являются последовательными членами арифметической прогрессии,

НЕТ, нам же, наоборот, надо это получить...
А почему бы в Вашем последнем равенстве не избавиться от знаменателя? И - Вы уже подобное получили для геом. прогрессии - как выглядит аналог для арифметической?

[Orkimed]

gris
Слева сумма крайних членов прогрессии:
$\frac{1}{\log_bN}+\frac{\log_aN}{\log_bN\cdot\log_cN}$
$ \frac{1}{\log_bN} $ один из этих членов. Второй $\frac{\log_aN}{\log_bN\cdot\log_cN} $что-то никак не похож на один из членов.
Не $ \log_cN$, а $\log_bN$ вот это к чему?
DeBill
Аналогом для арифметической я воспользовался. Тождество получилось.

-- 26.02.2016, 18:35 --

gris
Если $2\cdot\frac{1}{\log_cN} $ удвоенный средний член,а $\frac{1}{\log_bN}$ один член прогрессии,другой член должен быть $\log_aN$,но у него есть коэффициент $\frac{1}{\log_bN\cdot\log_cN} $.Почему у них вид настолько отличается?

[Sinoid]

В первом сначала слева и справа надо удалить $N$

[Orkimed]

gris
Теперь я вообще запутался окончательно.
Вы можете нормально объяснить?Я вроде не клянчу решение.Прикладываю силы к решению и делаю попытки разобраться.Я вижу только отписки.

[gris]

Orkimed надо получить:
$ \log_a N, \log_b N, \log_c N $ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Именно в этом порядке!
Это эквивалентно: $ \log_a N+ \log_cN= 2\log_b N $ или
$N=1: 0+0=2\cdot 0$ и $N\ne 1: \dfrac 1{\log_Na}+ \dfrac 1{\log_Nc}= \dfrac 2{\log_Nb}$
Это равенство легко получить из совершенно правильно полученной Вами строки:
$ \log_Nb+\frac{\log_Nb}{\log_Na}\cdot\log_Nc=2\cdot\log_Nc $ Поделить её на два логарифма $ \log_Nb\log_Nc$

Ваша ошибка в том, что Вы преобразовываете выражение условия наугад, надеясь, что ответ как нибудь вылезет. А надо вначале определить, что же надо получить. Способов получения может быть несколько. И, конечно, надо сказать слова о правомерности преобразований. Например, логарифмировать можно только положительные значения и по основанию, отличному от единицы. Случай $N=1$ надо рассмотреть отдельно. Но три нуля составляют арифметическую прогрессию при любых $a,b,c$