Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.

[Утундрий]

Пусть $x \in \mathbb{R}^n $, а ${\mathbf{y}} \in \mathbb{E}^N $, причём ${\mathbf{y}} = {\mathbf{y}}\left( x \right)$. Пространство $\mathbb{E}^N$ отличается от $\mathbb{R}^N$ наличием скалярного произведения $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $. Так что можно вычислять всякие полезные штуки вроде $ds^2 = \left\langle {d{\mathbf{y}},d{\mathbf{y}}} \right\rangle = \left\langle {dx \cdot \partial {\mathbf{y}},dx \cdot \partial {\mathbf{y}}} \right\rangle = dxdx \cdot \cdot \left\langle {\partial {\mathbf{y}},\partial {\mathbf{y}}} \right\rangle $ и всего такого прочего. Однако, дальше меня больше будут интересовать линейные оболочки вроде $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) $ и ей подобные. В этих терминах описывается значительный кусок "того, ради чего". Например, координаты $x$ можно считать введенными "хорошо", если $\dim \mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) = n$.

Чисто для удобства введём в $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right)$ базис ${\mathbf{e}}$ так, что $\dim \mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right) = n$ и $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) = \mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right)$. Теперь добавим к порождающим элементам вторые производные ${\partial ^2 {\mathbf{y}}}$ и представим получающуюся линейную оболочку в виде $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}},\partial ^2 {\mathbf{y}}} \right) = \mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right) \oplus \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e'}}} \right)$, где $\dim \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e'}}} \right) = n' \equiv \dim \mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}},\partial ^2 {\mathbf{y}}} \right) - n$. Продолжая в том же духе, получаем $n'' \equiv \dim \mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}},\partial ^2 {\mathbf{y}},\partial ^3 {\mathbf{y}}} \right) - n - n'$ и так далее. Вследствие чего объемлющее пространство предстанет в виде $\mathbb{E}^N = \mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right) \oplus \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e'}}} \right) \oplus \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e''}}} \right) \oplus \dots$ Так что каждому графику ${\mathbf{y}} = {\mathbf{y}}\left( x \right)$ однозначно сопоставится набор чисел $\left[ {n;n',n'' \dots} \right]$. Если график - полином, то рано или поздно некоторое $n^{(p)} = 0$ и, очевидно, $n^{(p + k)} = 0$ для любого целого положительного $k$.

Поскольку смешанные производные - симметричные тензоры, то имеют место очевидные оценки $n' \leqslant {{n\left( {n + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n + 1} \right)} {\left( {1 \cdot 2} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {1 \cdot 2} \right)}}$, $n'' \leqslant {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} {\left( {1 \cdot 2 \cdot 3} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {1 \cdot 2 \cdot 3} \right)}}$ и т.д.

Вводя проекторы $\Pi ,\Pi ',\Pi '' \dots$ на соответствующие подпространства $\mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right) , \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e'}}} \right) , \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e''}}} \right) \dots$ можно записать $\partial ^2 {\mathbf{y}} = \Pi \partial ^2 {\mathbf{y}} + \Pi '\partial ^2 {\mathbf{y}}$, $\partial ^3 {\mathbf{y}} = \Pi \partial ^3 {\mathbf{y}} + \Pi '\partial ^3 {\mathbf{y}} + \Pi ''\partial ^3 {\mathbf{y}}$ и т.д. При этом, просто по определению, $\dim \mathscr{L} \left( {\Pi '\partial ^2 {\mathbf{y}}} \right) = n'$ и т.п.

Теперь мы вплотную подбираемся к вопросу. Нет никаких сомнений, что $\partial {\mathbf{e}} = \Pi \partial {\mathbf{e}} + \Pi '\partial {\mathbf{e}}$. Вследствие чего меня просто таки тянет написать заодно $\partial {\mathbf{e'}} = \Pi \partial {\mathbf{e'}} + \Pi '\partial {\mathbf{e'}} + \Pi ''\partial {\mathbf{e'}}$ и далее по аналогии.

Но так ли это?

[Slav-27]

Чего-то я тут, похоже, не понимаю...
$\partial\mathbf y$ - это $n$ векторов: $\dfrac{\partial\mathbf y}{\partial x^1},...,\dfrac{\partial\mathbf y}{\partial x^n}$?

Кто такие $\partial\mathbf e$ и т. д., если $\mathbf e, \mathbf e'$ и т. д. выбираются как попало, только чтобы

Утундрий в сообщении #1091927 писал(а):

$\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) = \mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right)$

?
Если же $\mathbf e$ - это $\partial\mathbf y$, $\mathbf e'$ - это кусок $\partial^2\mathbf y$ и т. д., $\partial\mathbf e$ - весь $\partial^2\mathbf y$, $\partial\mathbf e'$ - кусок $\partial^3\mathbf y$, то в чём проблема?

[Утундрий]

1) Да.
2) Аналогично предыдущему.
3) Не как попало, существенно что они образуют базис.
4) В том-то и дело, что не обязательно весь.

[Slav-27]

$\mathbf e$ выбирается среди $\partial\mathbf y$ или туда можно брать кого угодно, только чтобы это был базис $\mathscr L(\partial\mathbf y)$?

В первом случае при условии

Утундрий в сообщении #1091927 писал(а):

$\dim \mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) = n$

$\mathbf e$ должен совпасть с $\partial\mathbf y$.

Если же тут второй случай, то кто такие $\partial\mathbf e$?

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1091927 писал(а):

$\partial {\mathbf{e'}} = \Pi \partial {\mathbf{e'}} + \Pi '\partial {\mathbf{e'}} + \Pi ''\partial {\mathbf{e'}}$ и далее по аналогии.

Но так ли это?

А в чем проблема? Поскольку сумма трех проекторов есть единичный оператор, то вопрос состоит в следующем: попадает ли $ \partial {\mathbf{e'}}$ в $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}},\partial ^2 {\mathbf{y}}} , {\partial ^3 {\mathbf{y}}}\right)$. А куда оно денется то: столбик из $e'$ есть линейная комбинация (с к-тами, зависящими от $x$) столбиков - частных производных от $y$ первого и второго порядков. Евоная производная поэтому есть линейная комбинация из частных производных первого, второго и третьего порядков, и, значит, лежит там, где надо...

[Утундрий]

DeBill в сообщении #1101854 писал(а):

А куда оно денется то: столбик из $e'$ есть линейная комбинация (с к-тами, зависящими от $x$) столбиков - частных производных от $y$ первого и второго порядков.

По-моему, наоборот.

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1101865 писал(а):

По-моему, наоборот.

Ну, и наоборот - тоже. Но ведь мы изначально живем в линейном (под)пространстве, порожденном столбиками из частных производных. Так что и базисные вектора - при любом выборе базиса - тоже ими порожаются...

[Утундрий]

DeBill в сообщении #1101867 писал(а):

Ну, и наоборот - тоже. Но ведь мы изначально живем в линейном (под)пространстве, порожденном столбиками из частных производных. Так что и базисные вектора - при любом выборе базиса - тоже ими порожаются...

Значит осталось только это доказать. Ну, или предъявить контрпример. Собственно, в этом-то и вопрос. Потому что мне сие как-то неочевидно, в силу того, что никто никому не обещал никакой невырожденности. А вдруг мне повезёт так ввести штрихованный базис, что его производные возьмут и вывалятся в какое-то новое и прекрасное место?

[Slav-27]

А, то есть вот что такое $\partial\mathbf e$: при построении $\mathbf e$ частные производные зачем-то линейно перекомбинируются (с получением линейно эквивалентной системы), а затем производная вектора из $\mathbf e$ считается как производная линейной комбинации.

Ну если это и имелось в виду, то я всё ещё не понимаю, в чём проблема.

Вот были $(\partial\mathbf y)$, сделали из них линейно эквивалентную систему $(\mathbf e)$, добавили $\partial^2\mathbf y$, сделали из $(\mathbf e, \partial^2\mathbf y)$ линейно эквивалентную систему $(\mathbf e, \mathbf e')$...

Любой вектор $x$ из $\mathbf e'$, значит, линейно выражается через $(\partial\mathbf y,\partial^2\mathbf y)$. Тогда его производная линейно выражается через $(\partial^2\mathbf y,\partial^3\mathbf y)$. В то же время для любого вектора $z$ из списка $(\partial\mathbf y, \partial^2\mathbf y, \partial^3\mathbf y)$ имеем $z = \Pi z + \Pi 'z + \Pi ''z$ (я верю, что это написано в 1-м посте), - следовательно то же верно для их линейных комбинаций, что и требуется.

-- 24.02.2016, 23:27 --

Что не так?

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1101869 писал(а):

А вдруг мне повезёт так ввести штрихованный базис, что его производные возьмут и вывалятся в какое-то новое и прекрасное место?

Не, я не понимаю. Единственно, что может произойти необычного - это что, наоборот, его производные ввалятся куда-нибудь в старое и прекрасное место - типа, будут порождаться производными меньшего порядка, чем мы ожидали...

-- 24.02.2016, 23:32 --

Slav-27 в сообщении #1101872 писал(а):

Что не так?

Да все так. Но Утундрий (ю?) не нравится...