2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение18.01.2016, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Пусть $x \in \mathbb{R}^n $, а ${\mathbf{y}} \in \mathbb{E}^N $, причём ${\mathbf{y}} = {\mathbf{y}}\left( x \right)$. Пространство $\mathbb{E}^N$ отличается от $\mathbb{R}^N$ наличием скалярного произведения $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $. Так что можно вычислять всякие полезные штуки вроде $ds^2  = \left\langle {d{\mathbf{y}},d{\mathbf{y}}} \right\rangle  = \left\langle {dx \cdot \partial {\mathbf{y}},dx \cdot \partial {\mathbf{y}}} \right\rangle  = dxdx \cdot  \cdot \left\langle {\partial {\mathbf{y}},\partial {\mathbf{y}}} \right\rangle $ и всего такого прочего. Однако, дальше меня больше будут интересовать линейные оболочки вроде $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) $ и ей подобные. В этих терминах описывается значительный кусок "того, ради чего". Например, координаты $x$ можно считать введенными "хорошо", если $\dim \mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) = n$.

Чисто для удобства введём в $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right)$ базис ${\mathbf{e}}$ так, что $\dim \mathscr{L}  \left( {\mathbf{e}} \right) = n$ и $\mathscr{L}   \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) = \mathscr{L}   \left( {\mathbf{e}} \right)$. Теперь добавим к порождающим элементам вторые производные ${\partial ^2 {\mathbf{y}}}$ и представим получающуюся линейную оболочку в виде $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}},\partial ^2 {\mathbf{y}}} \right) = \mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right) \oplus \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e'}}} \right)$, где $\dim \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e'}}} \right) = n' \equiv \dim \mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}},\partial ^2 {\mathbf{y}}} \right) - n$. Продолжая в том же духе, получаем $n'' \equiv \dim \mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}},\partial ^2 {\mathbf{y}},\partial ^3 {\mathbf{y}}} \right) - n - n'$ и так далее. Вследствие чего объемлющее пространство предстанет в виде $\mathbb{E}^N  = \mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right) \oplus \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e'}}} \right) \oplus \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e''}}} \right) \oplus \dots$ Так что каждому графику ${\mathbf{y}} = {\mathbf{y}}\left( x \right)$ однозначно сопоставится набор чисел $\left[ {n;n',n'' \dots} \right]$. Если график - полином, то рано или поздно некоторое $n^{(p)}  = 0$ и, очевидно, $n^{(p + k)}  = 0$ для любого целого положительного $k$.

Поскольку смешанные производные - симметричные тензоры, то имеют место очевидные оценки $n' \leqslant {{n\left( {n + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n + 1} \right)} {\left( {1 \cdot 2} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {1 \cdot 2} \right)}}$, $n'' \leqslant {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} {\left( {1 \cdot 2 \cdot 3} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {1 \cdot 2 \cdot 3} \right)}}$ и т.д.

Вводя проекторы $\Pi ,\Pi ',\Pi '' \dots$ на соответствующие подпространства $\mathscr{L} \left( {\mathbf{e}} \right) , \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e'}}} \right) , \mathscr{L} \left( {{\mathbf{e''}}} \right) \dots$ можно записать $\partial ^2 {\mathbf{y}} = \Pi \partial ^2 {\mathbf{y}} + \Pi '\partial ^2 {\mathbf{y}}$, $\partial ^3 {\mathbf{y}} = \Pi \partial ^3 {\mathbf{y}} + \Pi '\partial ^3 {\mathbf{y}} + \Pi ''\partial ^3 {\mathbf{y}}$ и т.д. При этом, просто по определению, $\dim \mathscr{L} \left( {\Pi '\partial ^2 {\mathbf{y}}} \right) = n'$ и т.п.

Теперь мы вплотную подбираемся к вопросу. Нет никаких сомнений, что $\partial {\mathbf{e}} = \Pi \partial {\mathbf{e}} + \Pi '\partial {\mathbf{e}}$. Вследствие чего меня просто таки тянет написать заодно $\partial {\mathbf{e'}} = \Pi \partial {\mathbf{e'}} + \Pi '\partial {\mathbf{e'}} + \Pi ''\partial {\mathbf{e'}}$ и далее по аналогии.

Но так ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 19:49 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Чего-то я тут, похоже, не понимаю...
$\partial\mathbf y$ - это $n$ векторов: $\dfrac{\partial\mathbf y}{\partial x^1},...,\dfrac{\partial\mathbf y}{\partial x^n}$?

Кто такие $\partial\mathbf e$ и т. д., если $\mathbf e, \mathbf e'$ и т. д. выбираются как попало, только чтобы
Утундрий в сообщении #1091927 писал(а):
$\mathscr{L}   \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) = \mathscr{L}   \left( {\mathbf{e}} \right)$
?
Если же $\mathbf e$ - это $\partial\mathbf y$, $\mathbf e'$ - это кусок $\partial^2\mathbf y$ и т. д., $\partial\mathbf e$ - весь $\partial^2\mathbf y$, $\partial\mathbf e'$ - кусок $\partial^3\mathbf y$, то в чём проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
1) Да.
2) Аналогично предыдущему.
3) Не как попало, существенно что они образуют базис.
4) В том-то и дело, что не обязательно весь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 20:59 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
$\mathbf e$ выбирается среди $\partial\mathbf y$ или туда можно брать кого угодно, только чтобы это был базис $\mathscr L(\partial\mathbf y)$?

В первом случае при условии
Утундрий в сообщении #1091927 писал(а):
$\dim \mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}}} \right) = n$
$\mathbf e$ должен совпасть с $\partial\mathbf y$.

Если же тут второй случай, то кто такие $\partial\mathbf e$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 21:38 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Утундрий в сообщении #1091927 писал(а):
$\partial {\mathbf{e'}} = \Pi \partial {\mathbf{e'}} + \Pi '\partial {\mathbf{e'}} + \Pi ''\partial {\mathbf{e'}}$ и далее по аналогии.

Но так ли это?

А в чем проблема? Поскольку сумма трех проекторов есть единичный оператор, то вопрос состоит в следующем: попадает ли $ \partial {\mathbf{e'}}$ в $\mathscr{L} \left( {\partial {\mathbf{y}},\partial ^2 {\mathbf{y}}} , {\partial ^3 {\mathbf{y}}}\right)$. А куда оно денется то: столбик из $e'$ есть линейная комбинация (с к-тами, зависящими от $x$) столбиков - частных производных от $y$ первого и второго порядков. Евоная производная поэтому есть линейная комбинация из частных производных первого, второго и третьего порядков, и, значит, лежит там, где надо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
DeBill в сообщении #1101854 писал(а):
А куда оно денется то: столбик из $e'$ есть линейная комбинация (с к-тами, зависящими от $x$) столбиков - частных производных от $y$ первого и второго порядков.

По-моему, наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 22:06 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Утундрий в сообщении #1101865 писал(а):
По-моему, наоборот.

Ну, и наоборот - тоже. Но ведь мы изначально живем в линейном (под)пространстве, порожденном столбиками из частных производных. Так что и базисные вектора - при любом выборе базиса - тоже ими порожаются...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
DeBill в сообщении #1101867 писал(а):
Ну, и наоборот - тоже. Но ведь мы изначально живем в линейном (под)пространстве, порожденном столбиками из частных производных. Так что и базисные вектора - при любом выборе базиса - тоже ими порожаются...

Значит осталось только это доказать. Ну, или предъявить контрпример. Собственно, в этом-то и вопрос. Потому что мне сие как-то неочевидно, в силу того, что никто никому не обещал никакой невырожденности. А вдруг мне повезёт так ввести штрихованный базис, что его производные возьмут и вывалятся в какое-то новое и прекрасное место?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 22:23 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
А, то есть вот что такое $\partial\mathbf e$: при построении $\mathbf e$ частные производные зачем-то линейно перекомбинируются (с получением линейно эквивалентной системы), а затем производная вектора из $\mathbf e$ считается как производная линейной комбинации.

Ну если это и имелось в виду, то я всё ещё не понимаю, в чём проблема.

Вот были $(\partial\mathbf y)$, сделали из них линейно эквивалентную систему $(\mathbf e)$, добавили $\partial^2\mathbf y$, сделали из $(\mathbf e, \partial^2\mathbf y)$ линейно эквивалентную систему $(\mathbf e, \mathbf e')$...

Любой вектор $x$ из $\mathbf e'$, значит, линейно выражается через $(\partial\mathbf y,\partial^2\mathbf y)$. Тогда его производная линейно выражается через $(\partial^2\mathbf y,\partial^3\mathbf y)$. В то же время для любого вектора $z$ из списка $(\partial\mathbf y, \partial^2\mathbf y, \partial^3\mathbf y)$ имеем $z = \Pi z + \Pi 'z + \Pi ''z$ (я верю, что это написано в 1-м посте), - следовательно то же верно для их линейных комбинаций, что и требуется.

-- 24.02.2016, 23:27 --

Что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос, наверное простой, наверное, по геометрии.
Сообщение24.02.2016, 22:30 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Утундрий в сообщении #1101869 писал(а):
А вдруг мне повезёт так ввести штрихованный базис, что его производные возьмут и вывалятся в какое-то новое и прекрасное место?

Не, я не понимаю. Единственно, что может произойти необычного - это что, наоборот, его производные ввалятся куда-нибудь в старое и прекрасное место - типа, будут порождаться производными меньшего порядка, чем мы ожидали...

-- 24.02.2016, 23:32 --

Slav-27 в сообщении #1101872 писал(а):
Что не так?

Да все так. Но Утундрий (ю?) не нравится...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group