Общая топология. Помогите с доказательством.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток! Прошу помогите с доказательством следующего утверждения:

Пусть нам дано произвольное множество $X$, в котором для каждой его точки $x \in X$ задана непустая система подмножеств $\Omega(x) = \left\lbrace \Omega_\alpha(x)\right\rbrace$ , называемых окрестностями $x$, удоволетворяющих следующим 4 свойствам:

1) Точка $x$ принадлежит каждой своей окрестности.
$\forall x \in X, \forall O \in \Omega(x) \to x \in O$

2) Любое подмножество $X$, содержащее в себе некоторую окрестность произвольной точки $x$, есть окрестность точки $x$.
$\forall U \in 2^{X}, \forall x \in U \to (\exists O \in \Omega(x): O \subset U \to U \in \Omega(x))$

3) Для любых двух окрестностей точки $x$ их пересечение также есть окрестность $x$.
$\forall O_1, O_2 \in \Omega(x) \to O_1 \cap O_2 \in \Omega(x)$

4) Внутри любой $\Omega_\alpha (x)$ окрестности точки $x$ существует другая $\Omega_\beta(x)$ окресность точки $x$, которая является окрестностью любой своей точки.
$\forall x \to \forall O_1 \in \Omega(x) \to \exists O_2 \in \Omega(x): O_2 \subset O_1, \forall y \in O_2 \to O_2 \in \Omega(y)$

Другими словами $X$ есть топологическое пространство в терминах окрестностей точек. Требуется показать, что множества, являющиеся окрестностями всех своих точек и $\varnothing$, образуют топологию на $X$

Уточню свои обозначения:

1) Под $\Omega(x)$ я подразумеваю множество всех окрестностей точки $x$, а под $\Omega_\alpha(x)$ какую-то одну окрестность этой точки, причем индекс пробегает какое-то произвольное множество индексов $I_x$, вообще говоря свое собственное для каждой точки. Другими словами справедлива следующая запись:
$\Omega(x) \equiv \left\lbrace \Omega_i(x): i \in I_x\right\rbrace$

Доказательство.

Пусть $\tau$ - множество всех множеств, являющихся окрестностями каждой своей точки.

1) Ясно, что само множество $X$ является окрестностью каждой своей точки, так как $X$ содержит каждое свое подмножество, а значит и все окрестности всех своих точек, и тогда по свойству 2) $X$ является окрестнотью каждой своей точки. Итак, $X \in \tau$

2) Требуется показать, что произвольное конечное пересечение множеств из $\tau$ принадлежит $\tau$

Пусть $O$ есть произвольное конечное пересечение множеств из $tau$.
$O = \bigcap\limits_{k \in K}^{}O_j, O_j \in \tau$
Тут возможно несколько альтернатив:
1) Пересечение вполне может быть пустым, тогда поскольку пустое множество принадлежит $\tau$, то все союлюдается.
2) Пересечение может содержать в себе некоторую совокупность точек:
$O = \left\lbracex_j, j \in J\right\rbrace$

Тогда воспользуемся свойством того, что каждая окрестность точки $x$содержит в себе некоторую окрестность точки $x$, которая есть заодно и окрестность каждой своей точки. Тогда верно, что
$\forall j \in J, \forall k \in K \to \exists \Omega_\alpha(x_i) \in \Omega(x_i): \Omega_\alpha(x_i) \subset O_k, \forall y \in \Omega_\alpha(x_i) \to \Omega_\alpha(x_i) \in \Omega(y)$
Но тогда поскольку пересечение двух окрестностей любой точки также есть окрестность этой точки, верно что и в конечном пересечении для любой точки из этого пересечение найдется некоторая окрестность, а именно $\forall x_i \in O \to \bigcap\limits_{\alpha = f(k), k \in K}^{}\Omega_\alpha(x_i) \in \Omega(x_i)$

3) Остается разобрать случай с произвольным объединением, сейчас не успеваю из-за зарядки выложить, но основная идея в том что надо использовать свойство 4 и рассмотреть объединение всех таких "открытых окрестностей" оно очевидно должно совпасть с общим объединением, но это на уровне идей. Прошу проверить корректность моих рассуждений.

[DeBill]

Anton_Peplov в сообщении #1101265 писал(а):

Докажите, что каждая окрестность какой-либо точки принадлежит $\tau$.

Э-э, нет, в наших условиях это не обязательно так.

Pulseofmalstrem
Из-за обилия опечаток, Ваш текст трудно читаем. Однако, как я понимаю, п.2) таки не доказан: Вы не проверили, что
" произвольное конечное пересечение множеств из $\tau$ принадлежит $\tau$ ".
Я полагаю, что удобнее сначала доказать п.3) - это вроде достаточно легко. И тогда Ваши рассуждения из п.2) можно довести до конца.