Бесконечно много пар

[rightways]

Найдите бесконечно много пар $(x,y)$ натуральных $x,y$ для которых

$$x|y^2+(y-1)^2$$

и

$$y|x^2+(x-1)^2$$

(ну или докажите что конечно)

[DeBill]

Ну, одно решение угадать можно: 17 и 109....

Заметим, что $x$ и $y$ взаимно просты. Поэтому, оба условия задачи можно заменить одним:
число $ 2x\cdot (x-1) + 2y\cdot (y-1) +1 $ делится на $xy$.
В частности, для угаданного решения верно равенство:
$2x^2 +2y^2 -2x -2y +1 =13xy$
Вот и будем решать это уравнение.
Сделав стандартную замену $u=x+y, v = x-y$, получим
$u^2 + v^2 -2u +1= \frac{13}{4} (u^2 - v^2)$, или
$17v^2 -9u^2 -8u +4 =0$. Умножая на 9, после замены $t=9u+4$ получим
любимое уравнение $t^2 - 153v^2 =52$. Из угаданного, имеем решение $u_0=1138, v_0=92$.
Сосчитав примитивное решение для последнего уравнения (оно - есть), размножим с его помощью угаданное (нужная в процессе делимость на 9 , и на 2, вроде бы, есть). Так что, решений бесконечно много...
Я было хотел посчитать еще хотя бы одно - да числа больно здоровые - а я ленив...

[DeBill]

С помощью примитивного решения (для ур-я с единичкой в правой части) $ (2177, 176) $, сосчитал следующее решение:
$4954802^2 - 400572^2 = 24550062959204 - 24550062859152 =52$. Но, собака, не тот остаток у него при делении на 9...
Но зато следующий - точно подойдет; и дальше - через раз - все будет хорошо. Так что размножать решения из

DeBill в сообщении #1100817 писал(а):

$u_0=1138, v_0=92$.

(тут опечатка - надо $t_0$)
следует по формуле $t_{n+1} =t_n \cdot 9478657 +153 \cdot 766304 \cdot v_n, v_{n+1} = t_n \cdot 766304 +v_n \cdot 9478657 $. Но мой кулькулятр таких чисел уже не переваривает....

[maxal]

rightways в сообщении #1100684 писал(а):

Найдите бесконечно много пар $(x,y)$ натуральных $x,y$ для которых

$$x|y^2+(y-1)^2$$

и

$$y|x^2+(x-1)^2$$

Нетрудно видеть, что $x$ и $y$ взаимно-просты, а поэтому заданные условия делимости равносильны делимости $2x^2-2x+2y^2-2y+1$ на $xy$. Ну а это решается "прыжками Виета".

[rightways]

прыжками виета я пробовал, не получается

[maxal]

rightways в сообщении #1126875 писал(а):

прыжками виета я пробовал, не получается

Решение DeBill по сути и есть (чуть обобщенные) прыжки Виета.

Осталось добавить завершающий штрих: решения уравнения $t^2 - 153v^2 =52$ при ограничении $t\equiv 4\pmod{9}$ задаются последовательностями:

$$\begin{cases} t_0=1138,\quad t_1=21573206770,\quad t_n = 18957314\cdot t_{n-1}-t_{n-2} \\ v_0=92,\quad v_1=1744090396,\quad v_n = 18957314\cdot v_{n-1}-v_{n-2}\end{cases}$$

Несколько первых решених $[x,y]$, получаемых отсюда:

[17, 109]
[326466289, 2070556685]
[6188923955200465, 39252193236556717]
[117325374740856825697457, 744116152374079896634189]
[2224173969130085284866010362769, 14106443553027238809388631664365]