Система рациональных уравнений

[SpBTimes]

Добрый день, попалась система, а как решить -- непонятно. Не подскажете?

$$ \left\{\begin{array}{c} 9y^2z^2+4x^2z^2+25x^2y^2 = 16x^2y^2z^2 \\ x^2 + 4y^2 + z^2 = 9 \\ x - y\sqrt{3} +z\sqrt{15} = 7.5 \end{array} \right. $$

[DeBill]

Система погана, и если уж решится - то за счет экстремальности...
Попробуем:
1. Поделив первое на произведение (а вдруг оно -0 ? ), получим:

$\frac{9}{x^2} +\frac{4}{y^2} + \frac{25}{z^2} = 16$

2. Скалярное произведение векторов $(\frac{3}{x}, \frac{2}{y}, \frac{5}{z})$ и $(x,2y,z)$ равно 12. По Коши-Буняковскому, с учетом наших уравнений, оно не превосходит $\sqrt{16}\cdot \sqrt{9} =12$. Значит, равенство, так что наши вектора пропорциональны (а "сфера" и "антисфера" - касаются). Так что уже система из первых двух ур-й имеет конечное число решений. Найдем их, и, в соответствии с третьим ур-м, отберем нужные...

[redicka]

Проще всего решить последних два уравнения (получим параметрическое уравнение эллипса с параметром z ),
подставив в первое уравнение найдем значение z, $\frac{\sqrt{15}}{2}$. Подставив значение z в последних два
уравнения и решив их получим два корня, удовлетворяющих заданной системе.

[DeBill]

redicka в сообщении #1100771 писал(а):

Проще всего

Ниче себе проще! Вообще то Ваш план должен был привести к уравнению 4-й степени. Повезло, что имеет место экстремальность - "эллипсы" касаются.
А чем Вам не понравилаось

DeBill в сообщении #1099762 писал(а):

наши вектора пропорциональны

? Ведь отсюда сразу находим решение .