преобразование функциональной зависимости в новую систему

[soll]

Всем привет. Уже несколько дней ищу такую вещь...
Есть функция, заданная в декартовой системе координат.
Есть другая (недекартова) система координат.
Есть формулы пересчёта координат точек декартовой системы в недекартову.

Как можно получить функциональную зависимость в другой системе координат, которая бы давала такие же значения для точек, как и те, что получаются при пересчёте из декартовой системы в новую.

Например как будет выглядеть функция $y=x^2$ в полярной системе координат? Нужно получить что-то вида $r=f(\varphi)$.

-- Пт фев 19, 2016 15:27:25 --

Забыл сказать... Понятно, что не всегда возможно получить функциональную зависимость в новой системе координат на всей области определения функции, заданной в старой системе координат. Так что речь идёт о некотором отрезке, где можно однозначно определить новую зависимость.

[Mihr]

soll в сообщении #1100610 писал(а):

Например как будет выглядеть функция $y=x^2$ в полярной системе координат? Нужно получить что-то вида $r=f(\varphi)$.

Что-то непонятен смысл вопроса. Ну, напишем $r\sin\varphi=(r\cos\varphi)^2$ и выразим отсюда $r$. Это нетрудно. Или Вы о чём-то другом?

[svv]

У Вас есть функция, явная $y=f(x)$ или неявная $f(x, y)=0$. Подставляете выражения $x,y$ через новые переменные, и... всё:
$f(r\cos\varphi, r\sin\varphi)=0$
Важно понимать, что в общем случае Вы не получите отсюда явное выражение $r$ через $\varphi$, но в отдельных случаях Вам может повезти.

[soll]

Да, так-то оно вроде всё так... Но возьмём например функцию $y(x)=\frac{2}{x}$.
Подставляя сюда значения для $x$ и $y$ в полярных координатах и выражая $r$, получается
$r(\varphi)=\sqrt{\frac{2}{sin(\varphi)cos(\varphi)}}$.

Теперь берём две точки например $x=1$ и $x=3$. Находим соответствующие значения $y$.
Потом для этих точек находим соответствующие углы $\varphi$ как $arctg(\frac{y}{x})$ и подставляя их в формулу для $r$ должны бы получится соответствующие значения $y$, а получается какая-то фигня.
Может я чего-то не так делаю?

[Mihr]

soll в сообщении #1100662 писал(а):

Может я чего-то не так делаю?

Покажите, какая конкретно "фигня" у Вас получается, тогда можно будет сказать: так Вы делаете или не так.

[Slav-27]

Где фигня? Покажите.
Подставляя $\varphi$ в выражение для $r(\varphi)$, вы получите, разумеется, $r$, а не $y$ (а потом по $\varphi$ и $r$ можно найти $y$, и вот тогда-то он должен совпасть с тем $y$, который вычислен без извращений.)

[svv]

Самый жуткий способ. Имея «правильные» $x$ и $y=\frac 2 x$, последовательно находим:
$\varphi=\arctg\frac y x$
$\cos\varphi=\cos(\arctg\frac y x)=\frac 1{\sqrt{1+\tg^2(\arctg\frac y x)}}=\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}$
$\sin\varphi=\sin(\arctg\frac y x)=\frac {\tg (\arctg\frac y x)}{\sqrt{1+\tg^2(\arctg\frac y x)}}=\frac y{\sqrt{x^2+y^2}}$
$\sqrt{\frac 2{\sin\varphi\cos\varphi}}=\sqrt{\frac {2(x^2+y^2)}{xy}}=\sqrt{\frac {2/x}y}\sqrt{x^2+y^2}$
Но так как $2/x=y$, а $\sqrt{x^2+y^2}=r$, последняя формула, как и требуется, даёт $r$ (а не $y$, как Вы написали!).

Способ попроще. Не обязательно находить $\varphi$, можно сразу
$\cos\varphi=\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}$
$\sin\varphi=\frac y{\sqrt{x^2+y^2}}$
И попробуйте здесь не получить то, что нужно.

[soll]

Точно... там же $r$ получается... А я с чего-то решил, что $y$.
Ну да, получилось $r$, и тогда по формулам преобразования полярных координат в декартовы снова получаем то, что было.
Спасибо всем. Теперь всё срослось.

[svv]

Я уважаю такие исследования, считаю, что они время от времени абсолютно необходимы.