Гипотеза Линделефа

[Skipper]

Спасибо. Теперь понятно стало.. Гипотеза Римана уже 150 лет успешно отражает все попытки доказать ее или опровергнуть. Это просто камень преткновения какой-то. Дербишир в своей книге писал, что скорее всего, ее доказательство лежит далеко за пределами всего что нам сейчас доступно.
Больше шансов хотя бы доказать более слабое утверждение - гипотезу Линделефа.
Она следует из гипотезы Римана, но не наоборот. Лучше бы институт Клэя ее включил в список проблем тысячелетия :) с призом в миллион долларов.

[ex-math]

Skipper
То, что она слабее, не значит, что ее будет легче доказать.
Есть еще плотностная гипотеза и масса других недоказанных утверждений о нулях дзета-функции. Так что выбрать есть из чего.
Вообще, начинать надо с другого конца. Посмотреть, какая сейчас оценка модуля дзета-функции на критической прямой, как она получена, и пытаться улучшать. Если получится продвижение, пусть не до гипотезы Линделефа, но хоть на сколько-то, это будет большой успех и хорошая работа.

[sergei1961]

Был такой очень хороший математик, чл.-корр. АН и потом РАН - Николай Васильевич Кузнецов. Он всю жизнь работал над доказательством г.Л., одно время даже думал, что доказал, но при этом получил несколько выдающихся результатов-формула "следа Кузнецова" и др. У него есть книга "Формула следа и некоторые их приложения..." В конце объясняются, что из книги в последний момент исчезли главы с неверным доказательством. В книге есть многое из тематики вокрус г.Л. У него есть также препринт на тему и несколько работ. Если интересуетесь всерьёз-можно написать его ученику тоже чл.-корр. Быковскому В.А. и попросить современные обзоры.

[Skipper]

Спасибо. Наверное, эта книга содержит самую подробную информацию. Интересно было бы почитать.

[Skipper]

Цитата:

Если бы вне критической прямой лежало бы лишь конечное число нулей, это была бы по сути гипотеза Римана.

Что означает "по сути"? Если вне критической прямой лежит лишь конечное число нулей - то все следствия которые следуют из гипотезы Римана, тогда будут верными? Карацуба в своей лекции и вовсе говорит, что ГР - это гипотеза о том, что "почти все" нули дзета функции лежат на критической прямой, а не вообще все. В чем разница для следствий из ГР, если 1) все нули на критической прямой, 2) лишь конечное количество нулей вне критической прямой, 3) бесконечное количество нулей вне критической прямой, но почти все они на критической прямой (т.е. их соотношение нулей на прямой к количеству нулей не на прямой, стремится к 1, при увеличении промежутка). ?

[ex-math]

Нет, не все будут верными. Скажем, остаток в асимптотическом законе напрямую зависит от максимальной абсциссы нуля.

[Skipper]

Удивительно. Т.е. предположим, есть всего одна пара нулей дзета-функции, не лежащая на критической прямой.
У этой пары - действительные части - 0,6, и 0,4. Все остальные нули лежат на критической прямой, действительная часть 0,5.
И всего лишь из-за одной этой пары нулей - нарушается асимптотический закон, бесконечное количество раз?
Я думал, что в таком случае и остаток в формуле распределения простых чисел, может, так сказать, выйти из O($\sqrt{N} \ln N $) лишь конечное количество раз.

[ex-math]

Есть точная формула для остатка в асимптотическом законе через нули дзеты. Из нее все ясно видно.

[Skipper]

Доказано, что по крайней мере 2/5 всех нулей дзета функции лежит на критической прямой.
Если верна гипотеза Линделефа, то будет ли улучшена эта оценка? Т.е. можно ли будет сказать, что вот такая-то часть всех нулей лежит на критической прямой? Или оценка 2/5 останется?
Спасибо.

[ex-math]

Посмотрите у Титчмарша эквивалентную формулировку гипотезы Линделефа через нули. Насколько помню, там довольно слабое условие.

[Skipper]

Почему слабое? Вы писали,

ex-math в сообщении #1037578 писал(а):

Skipper
Дело не в мощности множества, а в распределении этих нулей. Обычно смотрят число нулей с вещественной частью больше $\sigma $ и мнимой частью от нуля до $T $, его и обозначают $N (\sigma, T) $. У Титчмарша фигурирует разность $N (\sigma,T+1)-N (\sigma,T) $, смысл ее, думаю, понятен. Если $\sigma>0.5$, то гипотеза Линделефа эквивалентна тому, что эта разность, будучи деленной на $\ln T $, будет стремиться к нулю (а без гипотезы Линделефа можно утверждать только ограниченность такого отношения).

разность $N (\sigma,T+1)-N (\sigma,T) $, при любом $\sigma>0.5$ - означает количество нулей вне критической прямой, в прямоугольнике, который имеет высоту $1$, а сам находится на высоте $N$. (т.к. это равенство выполняется для любой $\sigma>0.5$, мы можем взять $\sigma=(0.5+\varepsilon)$ т.е. рассматривать вообще все нули вне критической прямой т.е. от (0.5+\varepsilon)$ до (1-\varepsilon)$ ) Все же нули (включая те которые на кр.прямой) же сами уплотняются, по мере роста высоты в критической полосе, и вроде как, в зависимости от $\ln T $, где $T$ - высота (мнимая часть) прямоугольника в критической полосе. Т.е. общее количество нулей в любом прямоугольнике высота которого пренебрежительно мала к высоте середины прямоугольника, в том числе, и в прямоугольнике от $T$ до $(T + 1)$ имеет зависимость как $O(\ln T)$. А у Титчмарша же, количество нулей все критической прямой, т.е.
$N (\sigma,T+1)-N (\sigma,T) $, равно $o(\ln T)$.
Это эквивалентно вашему -

Цитата:

эта разность, будучи деленной на $\ln T $, будет стремиться к нулю

Т.к. эта разность - общее количество нулей вне критической прямой, в любом прямоугольнике, и она деленная на $\ln T $ - стремится к нулю, а также известно, что количество нулей на критической прямой деленная на $\ln T $ - не стремится к нулю в любом прямоугольнике, то из этого следует то что гипотеза Линделефа эквивалентна следующему утверждению - во всех малых прямоугольниках --> а значит и в их объединении, т.е. и в любом прямоугольнике, сколь угодно большом (хоть до бесконечности), соотношение количества нулей вне критической прямой к нулям на критической прямой - стремится к нулю.

Т.е. именно гипотеза Линделефа эквивалентна утверждению - "почти все нули дзета функции лежат на критической прямой" ? Это "почти все" сильнее любой части, нынешних $2/5$ и всех будущих улучшаемых оценок. Пишут, Гипотеза Линделефа - величайший вызов теории дзета-функции после гипотезы Римана, все остальные плотностные и т.п. гипотезы - слабее гипотезы Линделефа.

Но даже если верна гипотеза Линделефа, и "почти все нули дзета функции лежат на критической прямой" , все равно вне критической прямой может лежать бесконечное количество нулей. Поэтому утверждение что вне критической прямой может лежать только конечное количество нулей - это конечно, еще более сильное утверждение чем гипотеза Линделефа. Наконец, самое сильное утверждение всей теории дзета-функции - это сама гипотеза Римана, о том что вообще нет нулей вне критической прямой.

Правильно я всё понял?

-- Пн фев 15, 2016 12:32:47 --

Если неправильно я понял, тогда очень важный вопрос, неужели, справедливость гипотеза Линделефа не улучшает даже нынешнюю оценку о том, что $2/5$ всех нулей лежит на критической прямой???

[Skipper]

Цитата:

Все же нули (включая те которые на кр.прямой) же сами уплотняются, по мере роста высоты в критической полосе, и вроде как, в зависимости от $\ln T $, где $T$ - высота (мнимая часть) прямоугольника в критической полосе. Т.е. общее количество нулей в любом прямоугольнике высота которого пренебрежительно мала к высоте середины прямоугольника, в том числе, и в прямоугольнике от $T$ до $(T + 1)$ имеет зависимость как $O(\ln T)$.

Даже не вроде так, а это действительно так. Точнее:

количество нулей на критической прямой, с высотой от $T$ до $(T+H)$ , т.е.
$N(T+H) - N(T) \geqslant cH \ln T$ т.е. количество нулей на критической прямой, зависят от $T$ и $H$ вот так ~ $O(H \ln T)$ . (теорема Сельберга 1942 года).

Если выше описанное следствие из гипотезы Линделефа, переписать, заменив единицу на $H$, т.е. рассматривать не промежуток от $T$ до $(T+1)$, а рассматривать промежуток от $T$ до $(T+H)$ , выбросить $\sigma$, чтобы было понятнее (т.к. формула работает для любой \sigma > $0.5$ ), и считать что функция $N$ - количество нулей, которое наоборот, может не лежать на критической прямой, то из гипотезы Линделефа, явно же следует --

количество нулей НЕ на критической прямой (т.е. уже в прямоугольнике), с высотой от $T$ до $(T+H)$ , т.е.
$N(T+H) - N(T) $ зависят от $T$ и $H$ вот так ~ $o(H \ln T)$ .

$O$ большое и $o$ маленькое - в данных случаях так соотносятся, что чем больше промежуток $H$ при любом $T$, тем ближе к нулю должно стремиться соотношение количества нулей вне критической прямой, к количеству нулей на критической прямой, на этом промежутке. Значит на бесконечном промежутке, из справедливости гипотезы Линделефа, должно следовать, что почти все нули дзета-функции лежат на критической прямой. Это самая лучшая оценка, лучше нынешних доказанных $2/5$.

Т.е. другими словами говоря, количество нулей на критической прямой, уплотняется по мере движения вверх по критической полосе, в зависимости от $\ln T$. Если же частота появления нулей не на критической одинакова и не увеличивается, или увеличивается, но очень медленно, скорость увеличения, это какая то функция, которая эквивалентна $o(\ln T)$ (а это и следует из гипотезы Линделефа), то в обоих случаях почти все нули дзета-функции лежат на критической прямой.

Если я не прав, поправьте пожалуйста.

[ex-math]

То, что нули лежат очень близко к критической прямой не значит еще, что они лежат на ней. Все результаты о нулях на критической прямой основаны на изучении перемен знака овеществленной дзета-функции $Z (t) $, оценки $N (\sigma,t) $ здесь не помогут.

[Skipper]

Цитата:

разность $N (\sigma,T+1)-N (\sigma,T) $, при любом $\sigma>0.5$ - означает количество нулей вне критической прямой, в прямоугольнике, который имеет высоту $1$, а сам находится на высоте $N$. (т.к. это равенство выполняется для любой $\sigma>0.5$, мы можем взять $\sigma=(0.5+\varepsilon)$ т.е. рассматривать вообще все нули вне критической прямой.

Это вы об этом? Разве неверно что эта разность означает количество нулей вне критической прямой? А что означает "ноль дзета-функции лежит на критической прямой"? Это значит что какое бы малое $\varepsilon$ мы ни взяли, этот ноль под действие формулы не попадает. Для всех остальных нулей - существует такой $\varepsilon$, для которого формула действует. Предположим, если существуют нули дзета-функции, не лежащие на критической прямой, то во всех рассматриваемых прямоугольниках, существует и ноль, лежащий ближе всего к ней. Ну вот мы и возьмем $\varepsilon$, меньший чем расстояние от этого нуля до критической прямой. И таким образом, формула будет показывать общее количество всех нулей, не лежащих на критической прямой.

Т.е.

количество нулей на критической прямой, с высотой от $T$ до $(T+H)$ , т.е.
$N(T+H) - N(T) \geqslant cH \ln T$ т.е. количество нулей на критической прямой, зависят от $T$ и $H$ вот так ~ $O(H \ln T)$ . (теорема Сельберга 1942 года).

количество нулей НЕ на критической прямой (т.е. уже в прямоугольнике), с высотой от $T$ до $(T+H)$ , т.е.
$N(T+H) - N(T) $ зависят от $T$ и $H$ вот так ~ $o(H \ln T)$ . (следует из гипотезы Линделефа, как именно, написал выше).

Может я еще где нибудь неправ? Спасибо.

[vicvolf]

Skipper в сообщении #342553 писал(а):

Как на данный момент обстоят дела с гипотезой Линделефа? Приблизился ли кто-нибудь к доказательству, какие наибольшие достижения в этой области (может доказаны похожие, но менее сильные утверждения и т.п.)?

http://arxiv.org/pdf/1010.3374.pdf