2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Планиметрия; поиск угла равнобедренного треугольника
Сообщение14.02.2016, 20:29 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Задача: Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается основания $AC$ в точке $D$ и боковой стороны $AB$ в точке $E$. Точка $F$ -- середина стороны $AB$, а точка $G$ точка пересечения окружности и отрезка $FD$, отличная от $D$. Касательная к окружности, проходящая через точку $G$, пересекает сторону $AB$ в точке $H$. Найти угол $BCA$, если известно, что $\dfrac{FH}{HE}=\dfrac{2}{3}$.
Обозначения: $AD=DC=a,$ $AF=FB=b,$ $\angle{BCA}=\alpha$
Что удалось выяснить: $FD=b$, поскольку средняя линия, откуда треугольник $AFD$ - равнобедренный.$\angle{HFG}=2\alpha$, как внешний для треугольника $AFD$.
По теореме о секущей и касательной для $FE$ и $FD: FE^2=FG\cdot FD$, но $FE=2x+3x=5x, FD=b$, тогда $FG=\dfrac{25x^2}{b}$
Высота по теореме Пифагора: $\sqrt{4b^2-a^2}$, тогда по теореме косинусов $\cos{\alpha}=\dfrac{a}{2b}$. (треугольник $DBC$).
Еще $AE=AD$, как касательные проведенные из одной точки, то есть $a=b+5x$.
$HG=HE=3x$, как касательные проведенные из одной точки.
Можно еще из треугольника $HGF$ выразить $\cos{2\alpha}$, но этого всё равно не достаточно.
Если было бы известно, в каком отношении касательная (которая проходит через точку $G$) делит отрезок $AD$ - можно было бы использовать теорему Менелая для треугольника $ADF$.
Как быть?

off: рисунок

(Оффтоп)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия; поиск угла равнобедренного треугольника
Сообщение14.02.2016, 22:50 
Заслуженный участник


10/01/16
2127
Тр-к $AED$ тоже равнобедренный, так что можно найти угол $EDG$
Свойство "угол между касательной и хордой равен..." даст углы $HEG = HGE$.
Тогда в тр-ке $FHG$ Вы нашли все углы, и знаете отношение сторон.
Теорема синусов даст уравнение на $\alpha$. (Чему равен синус тройного угла - знаете?) :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия; поиск угла равнобедренного треугольника
Сообщение15.02.2016, 01:26 
Аватара пользователя


04/10/15
271
DeBill в сообщении #1099444 писал(а):
Тр-к $AED$ тоже равнобедренный, так что можно найти угол $EDG$
Свойство "угол между касательной и хордой равен..." даст углы $HEG = HGE$.
Тогда в тр-ке $FHG$ Вы нашли все углы, и знаете отношение сторон.
Теорема синусов даст уравнение на $\alpha$. (Чему равен синус тройного угла - знаете?) :D

Собственно: $AED$ -- равнобедренный, откуда $\angle{AED}=\angle{ADE}=\dfrac{\pi-\alpha}{2}$
Теперь можем найти $\angle{EDG}$, как разность $\angle{EDA}-\angle{FDA}=\dfrac{\pi-3\alpha}{2}$. Тогда $\angle{EDG}=\dfrac{\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{2}$, а $\angle{GEH}=\dfrac{\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{4}=\dfrac{\pi-3\alpha}{4}=\angle{EGH}$
Тогда $\angle{GHE}=\dfrac{\pi+3\alpha}{2}$ и смежный оному $\angle{GHF}=\dfrac{\pi-3\alpha}{2}$. Получается, что $\angle{FGH}=\dfrac{\pi-\alpha}{2}$.
Но это, видимо, не так, поскольку в данном случае теорема синусов гласит, что $\dfrac{2x}{\sin{\dfrac{\pi-\alpha}{2}}}=\dfrac{3x}{\sin{2\alpha}}$
Не могу найти у себя ошибку..

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия; поиск угла равнобедренного треугольника
Сообщение15.02.2016, 12:08 
Заслуженный участник


10/01/16
2127
iou
Ошибка есть (у меня, кстати, тоже была - в арифметике) :D
"Угол между касательной и хордой равен половине дуги... " - да.
Но "вписанный угол тоже равен половине дуги"!
Так что - изменятся формулы, и будет все хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия; поиск угла равнобедренного треугольника
Сообщение15.02.2016, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11846
Казань
iou
Не проверяла, но возник вопрос. Нет ли у задачи второго решения? Для случая, когда $F$ лежит на отрезке $EB$, а не $EA$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия; поиск угла равнобедренного треугольника
Сообщение15.02.2016, 15:36 
Аватара пользователя


04/10/15
271
provincialka в сообщении #1099550 писал(а):
iou
Не проверяла, но возник вопрос. Нет ли у задачи второго решения? Для случая, когда $F$ лежит на отрезке $EB$, а не $EA$?

Я тоже об этом думал, но, кажется, ничего не изменится, просто картина внутри треугольника немного повернется, но соотношения будут прежними.
DeBill в сообщении #1099549 писал(а):
iou
Ошибка есть (у меня, кстати, тоже была - в арифметике) :D
"Угол между касательной и хордой равен половине дуги... " - да.
Но "вписанный угол тоже равен половине дуги"!
Так что - изменятся формулы, и будет все хорошо.

Да, действительно, получилось найти $\alpha=\arccos{\dfrac{3}{4}}.
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group