Планиметрия; поиск угла равнобедренного треугольника

[iou]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Задача: Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается основания $AC$ в точке $D$ и боковой стороны $AB$ в точке $E$. Точка $F$ -- середина стороны $AB$, а точка $G$ точка пересечения окружности и отрезка $FD$, отличная от $D$. Касательная к окружности, проходящая через точку $G$, пересекает сторону $AB$ в точке $H$. Найти угол $BCA$, если известно, что $\dfrac{FH}{HE}=\dfrac{2}{3}$.
Обозначения: $AD=DC=a,$ $AF=FB=b,$ $\angle{BCA}=\alpha$
Что удалось выяснить: $FD=b$, поскольку средняя линия, откуда треугольник $AFD$ - равнобедренный.$\angle{HFG}=2\alpha$, как внешний для треугольника $AFD$.
По теореме о секущей и касательной для $FE$ и $FD: FE^2=FG\cdot FD$, но $FE=2x+3x=5x, FD=b$, тогда $FG=\dfrac{25x^2}{b}$
Высота по теореме Пифагора: $\sqrt{4b^2-a^2}$, тогда по теореме косинусов $\cos{\alpha}=\dfrac{a}{2b}$. (треугольник $DBC$).
Еще $AE=AD$, как касательные проведенные из одной точки, то есть $a=b+5x$.
$HG=HE=3x$, как касательные проведенные из одной точки.
Можно еще из треугольника $HGF$ выразить $\cos{2\alpha}$, но этого всё равно не достаточно.
Если было бы известно, в каком отношении касательная (которая проходит через точку $G$) делит отрезок $AD$ - можно было бы использовать теорему Менелая для треугольника $ADF$.
Как быть?

off: рисунок

(Оффтоп)

[DeBill]

Тр-к $AED$ тоже равнобедренный, так что можно найти угол $EDG$
Свойство "угол между касательной и хордой равен..." даст углы $HEG = HGE$.
Тогда в тр-ке $FHG$ Вы нашли все углы, и знаете отношение сторон.
Теорема синусов даст уравнение на $\alpha$. (Чему равен синус тройного угла - знаете?)

[iou]

DeBill в сообщении #1099444 писал(а):

Тр-к $AED$ тоже равнобедренный, так что можно найти угол $EDG$
Свойство "угол между касательной и хордой равен..." даст углы $HEG = HGE$.
Тогда в тр-ке $FHG$ Вы нашли все углы, и знаете отношение сторон.
Теорема синусов даст уравнение на $\alpha$. (Чему равен синус тройного угла - знаете?) :D

Собственно: $AED$ -- равнобедренный, откуда $\angle{AED}=\angle{ADE}=\dfrac{\pi-\alpha}{2}$
Теперь можем найти $\angle{EDG}$, как разность $\angle{EDA}-\angle{FDA}=\dfrac{\pi-3\alpha}{2}$. Тогда $\angle{EDG}=\dfrac{\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{2}$, а $\angle{GEH}=\dfrac{\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{4}=\dfrac{\pi-3\alpha}{4}=\angle{EGH}$
Тогда $\angle{GHE}=\dfrac{\pi+3\alpha}{2}$ и смежный оному $\angle{GHF}=\dfrac{\pi-3\alpha}{2}$. Получается, что $\angle{FGH}=\dfrac{\pi-\alpha}{2}$.
Но это, видимо, не так, поскольку в данном случае теорема синусов гласит, что $\dfrac{2x}{\sin{\dfrac{\pi-\alpha}{2}}}=\dfrac{3x}{\sin{2\alpha}}$
Не могу найти у себя ошибку..

[DeBill]

iou
Ошибка есть (у меня, кстати, тоже была - в арифметике)
"Угол между касательной и хордой равен половине дуги... " - да.
Но "вписанный угол тоже равен половине дуги"!
Так что - изменятся формулы, и будет все хорошо.

[provincialka]

iou
Не проверяла, но возник вопрос. Нет ли у задачи второго решения? Для случая, когда $F$ лежит на отрезке $EB$, а не $EA$?

[iou]

provincialka в сообщении #1099550 писал(а):

iou
Не проверяла, но возник вопрос. Нет ли у задачи второго решения? Для случая, когда $F$ лежит на отрезке $EB$, а не $EA$?

Я тоже об этом думал, но, кажется, ничего не изменится, просто картина внутри треугольника немного повернется, но соотношения будут прежними.

DeBill в сообщении #1099549 писал(а):

iou
Ошибка есть (у меня, кстати, тоже была - в арифметике) :D
"Угол между касательной и хордой равен половине дуги... " - да.
Но "вписанный угол тоже равен половине дуги"!
Так что - изменятся формулы, и будет все хорошо.

Да, действительно, получилось найти $\alpha=\arccos{\dfrac{3}{4}}.
Спасибо!