Случайное блуждание с шагом, пропорциональным значению, и e

[fractalon]

Здравствуйте! Хочу поделится некоторыми наблюдениями, возникшими чисто экспериментально. Подойти к ним математически у меня мощи пока не хватает. Может, у кого-то из форумчан хватит...
Рассмотрим последовательно генерируемые случайные величины. Пусть задан параметр $a>0$ и некоторое $\xi_1$ - постоянная величина. Следующие величины генерируем следующим образом: когда $\xi_{n-1}$ уже сгенерирована, то выбираем $\xi_n$ равновероятно из целых чисел $0, 1, 2, \dots, \lfloor{a \xi_{n-1}}\rfloor$, то есть распределение дискретное и равномерное.
Нужно заметить, что если $\xi_n$ вдруг становится равным нулю, то $\xi_m \equiv 0$ для всех $m>n$. Вопрос в том, как быстро оно скатывается в $0$. При $a=1$ это, как известно, в среднем $O(\log{n})$ шагов, при $a=2$ на практике всё сваливается в ноль тоже очень быстро, как и при $a=2.5$. А вот при $a=e$ происходят жуткой силы колебания, величины могут подскакивать до $10^{80}$, потом опускаться потихоньку довольно неохотно до $10^{40}$, потом назад и ещё возрастать, потом опять опускаться... В общем, происходит что-то неведомое и иногда это заканчивается уходом в ноль, а иногда это возрастает до $10^{380}$ и у меня переполняется тип данных, что я (конечно, понимая всю нематематичность) чту за желание уйти в бесконечность.
Так главное даже не колебания при $a=e$, а то, что уже при $a=e+0.01$ последовательность почти всегда неостановимо возрастает и никакой тенденции к спаду вообще не видно. А уж при $a=2.8$, например, всё взлетает почти мгновенно и гарантированно.
Вряд ли тут замешано, конечно, само по себе число $e$, но замешано что-то около него, потому что, например, из 100 запущенных при $a=e$ последовательностях лишь 10 взлетели в бесконечность, а остальные ушли в ноль. Но основные колебания без явной тенденции к неостановимому росту или спаду начинаются именно где-то около этого значения.

Я попробовал простейшим образом исследовать непрерывный вариант, когда $\xi_n$ выбиралась бы равномерным непрерывным распределением из $[0 ; a \xi_{n-1}]$ и вот тут совсем странное получил, будто если $a<2$, математическое ожидание $\xi_n$ устремляется к нулю при $n \to \infty$, а если $a>2$, то устремляется к бесконечности. Это всё выводы из простейшего многократного интеграла по каждой из величин.
То есть различия между дискретным и непрерывным случаями, кажется, довольно серьёзны, и тут всё не так просто...

[grizzly]

Присоединюсь к вопросу следующим способом.

Очень похожие по описанию явления я наблюдал, забавляясь как-то с "Жизнью" Конвея (в простом одномерном случае). Я для разных правил (rule) такой Жизни вводил параметр -- очень небольшую вероятность смертности (каждая родившаяся клетка с некоторой вероятностью оказывается мёртворождённой). Для большинства правил легко было подобрать такое значение параметра смертности, что его малейшее изменение в большую / меньшую сторону означало для популяции почти гарантированное процветание / вымирание. (Замечу, что для многих правил небольшая смертность оказывается в некотором смысле полезной для популяции.)

Я предполагаю, что подобные вопросы относятся к ведомству динамических систем, а наблюдаемые нами явления можно интерпретировать как поведение каких-то фазовых траекторий вблизи аттракторов этих систем. Но мне тоже было бы интересно услышать мнение специалиста, не понаслышке знакомого с темой. Также интересно было бы узнать, насколько перспективны / сложны подобные темы для изучения; насколько велики шансы "решить" подобную задачу, если взяться за её изучение (являются ли подобные исследования обычно тупиковыми или нет); ну и конечно интересуют ответы на другие, более интересные вопросы, для постановки которых мне просто не хватает знаний.

[arseniiv]

Присоединюсь к интересному вопросу, но добавить от себя нечего.

[AlexDem]

fractalon в сообщении #1019493 писал(а):

когда $\xi_{n-1}$ уже сгенерирована, то выбираем $\xi_n$

Этого определения следующего значения через предыдущее достаточно для построения хаотической функции (она должна быть нелинейной), случайность здесь только мешает, как мне кажется. Вот тут есть простой пример, который можно в excel забить и посмотреть. Ну и дальше - по динамическим системам и детерминированному хаосу много чего можно найти почитать.

[dsge]

Если представить процесс Марковской цепью с состояниями в натуральных числах (+0), то элементы переходной матрицы будут иметь вид $p_{ij}=\frac{1}{i}, 1<j< \lfloor{a\cdot i}\rfloor+1$; $p_{ij}=0, j >\lfloor{a\cdot i}\rfloor$. При небольших $a$ переходные вероятности для степеней этой матрицы в самом деле будут постепенно концентрироваться у первого столбца. А чтобы получить картину в общем надо исследовать спектр этой матрицы для разных $a$.

[Alex_J]

В непрерывном случае на первый взгляд всё ясно: матожидание равно середине интервала, т.е. $\frac{a\xi_n}{2}$, и когда $a<2$, то более вероятно уменьшение величины и наоборот.
Почему в дискретном порогом является $e$, это действительно интересно.

Можно отметить пока один нюанс: какова вероятность достижения 0: чем меньше $\xi_n$, тем она выше (а именно, она равна $\frac{1}{\lfloor a\xi_n\rfloor}$).

[DeBill]

А давайте все таки непрерывный случай посмотрим: уж больно поганая вещь эта целая часть...
Пусть $p(x)$ - вероятность умереть, при условии что текущее состояние равно $x, x>0.$
Тогда, по формуле полной вероятности,
$p(x) = \frac{1}{ax} \cdot \int\limits_{0}^{ax} p(t)dt$
Дифференцируя, получим

$(x\cdot p(x))' = p(ax) ~~~~~~~~~(zvezdochka -shob ne rugalisya)$.

Это - (линейное) уравнение с запаздыванием/опережением. Что такое его решение - всяк по своему определяют (как умеют решать - так и определяют). Ну и мы, давайте, назовем его решениями
"хорошие" функции, ну, типа, $p(x) = x^{\gamma}$. Подставляя, получим для $\gamma$ уравнение : $1+\gamma = a^{\gamma}$. Ну, $\gamma =0$ подходит...
А-а-а, вот она - экспонента: при $a<e$ будет $\gamma > 0$. Так что единственное огрраниченное решение есть $p(x)\equiv 1$. А вот при $a>e$, $\gamma < 0$ ограниченные ...Блин, тоже нету : в нуле все плохо (а хотелось $p(0) = 1$ ). И чё делать?

-- 14.02.2016, 20:30 --

Вообще, уравнение zvezdocka можно решать так: задать произвольно функцию $p$ на полуинтервале $[1,a]$, а налево-направо продолжить по уравнению. Только позаботиться о сопряжении в крайних точках отрезка. Но в нуле и на бесконечности будет черт те что...

-- 14.02.2016, 20:38 --

А можно искать аналитические в 0 решения. Дифференцируя ряд $p(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n x^n$, из zvezdochka и нормировки получим:
$c_0 = 1, c_n \cdot (a^n - n - 1) =0$. Ха, это уже было...
А если ряд Лорана? Да то же самое..
А если ряды Пьюизо? Да по барабану - опять то же...
Что то тут не то....

[DeBill]

Ну, а если делать честно (непрерывный случай).
Пусть $\xi_0 = 1, \xi_n$ - равномерно распределена на $[0, \xi_{n-1}]$.
Совместная плотность пары $(\xi_{n-1},\xi_n)$ равна $p_{n-1,n}(x,y)= \frac{1}{ax} \cdot p_{n-1}(x), 0<y<ax$, где $p_{n}$ - плотность $\xi_n$.
Интегрируя, найдем

$p_n(x) = \frac{1}{a^n\cdot n!} \cdot (\ln (\frac{a^n}{x})), 0<x< a^n$.

В частности, сосчитаем мат. ожидание: оно равно $\frac{1}{2} \cdot (\frac{a}{2})^n$, как и было (почти) указано Alex_J.

Но давайте найдем и функцию распределения:
$F_n (z) = P\{\xi_n < z\} = \int\limits_{0}^{z} \frac{1}{a^n \cdot n!} (\ln (\frac{a^n}{x}))^n \cdot dx = $ (замена $t= \ln (\frac{a^n}{x})$) $ = \frac{1}{n!}\cdot \int\limits_{n \ln n - \ln z}^{\infty} e^{-t}\cdot t^n dt = \frac{1}{n!} \cdot \Gamma (n+1,n\ln a - \ln z)$ (остаток от интеграла для гамма-функции). Используя известные асимптотические формулы для этого остатка (ну, поскольку я их не помню, то -используя стандартные асимптотические методы (Лапласа)),
и формулу Стирлинга, находим предел при $n\to \infty$: он равен 1 при $a< e$, и 0 при $a>e$ (при $a=e$, вроде бы $\frac{1}{2}$).
Это значит, что:
при $a<e$ последовательность $\xi_n$ слабо (в смысле распределений) сходится к 0.
при $a>e$ ведет себя хрен знает как (расходится)
а при $a=e$ - странно...

Забавно: при $2<a<e$ средние растут экспоненциально, но процесс умирает с вероятностью 1.