Фононы и неупругое рассеяние нейтронов на фононах

[Phx]

Здравствуйте. Возник следующий вопрос о фононах.
Рассмотрим линейную цепочку чередующихся атомов двух разных масс. То есть рассматриваем два атома в элементарной ячейке такой системы. Нас интересует спектр возбуждений, для этого мы записываем уравнения движения на отклонения атомов от положения равновесия в каждой подрешетке (в фурье-компонентах):

$$\begin{pmatrix} \omega^2m_a-2A & 2A \cos(k)& \\ 2A\cos(k) & \omega^2m_b-2A& \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_a& \\ u_b& \end{pmatrix}$$

Где $m_a,m_b$--массы атомов разных типов, $A--$постоянная, характеризующая "жесткость" связи между атомами. Здесь я измеряю $k$ в единицах расстояний между атомами (расст-е полагаю постоянным). Тогда условие нетривиальности решения такой системы приведет к следующему спектру фононов:

$$\omega^2=\frac{A}{\mu}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{4\mu}{M}(1-\cos^2(k))}\right)$$

Где $\mu-$приведенная масса, $M=m_a+m_b$.
Получаем, как и водится, акустические и оптические фононы:

Если $m_a \rightarrow m_b$, то щель между двумя ветками спектра уменьшается, а в пределе равенства масс мы получаем следующую картинку:

Собственно, к вопросу. В пределе одинаковых масс, получаем обычную одноатомную цепочку, где есть лишь акустические фононы. Однако, рассмотрение выше дает еще одну ветку, полученную сдвигом первой. Но она вообще не является физической. То есть за счет такого искусственного удвоения элементарной ячейки мы получаем "лишний" результат. Вопрос-а почему мы собственно его получаем? Как мне тогда непрерывным образом перейти от двухатомной цепочки к одноатомной? Что описывает тогда эта лишняя ветка?
Вторая часть вопроса-об интенсивности или сечении неупругого рассеяния нейтронов (или любого другого излучения) на такой сложной многоатомной решетке. Для меня важно понять, как зависит это сечение, скажем, от приведенной массы или разности масс атомов в элементарной ячейке. Вероятно, интенсивность этой оптической ветки понижается, когда $m_a \rightarrow m_b$. Где в литературе можно посмотреть такие расчеты? Также меня интересует поведение сечений рассеяния нейтронов на магнонах, по работе имею дело с весьма сложным веществом, где 4 атома в элементарной ячейке, и сейчас важно понять (хотя бы на пальцах) , почему часть веток спектра имеет очень слабую интенсивность, а то и вовсе не видны. В общем, прежде всего интересует литература по данному вопросу.

[Munin]

Phx в сообщении #1098076 писал(а):

Вероятно, интенсивность этой оптической ветки понижается, когда $m_a \rightarrow m_b$.

Почему? Она же переходит в верхнюю часть полноценной акустической, как вы сами нарисовали.

[Phx]

Munin в сообщении #1098110 писал(а):

Phx в сообщении #1098076 писал(а):

Вероятно, интенсивность этой оптической ветки понижается, когда $m_a \rightarrow m_b$.

Почему? Она же переходит в верхнюю часть полноценной акустической, как вы сами нарисовали.

Я имею в виду то, что бордовая ветка (которая на моем рисунке не из нуля выходит) не должна быть видна на эксперименте вообще (ну да, здесь ее вообще оптической и не назовешь), если исследуется моноатомная цепочка. Значит ее интенсивность, возможно, увеличивается с увеличением разницы между массами.

В общем, не вполне понятно как рассчитывать сечение рассеяния. Вернее, в само выражение для сечения входит некий спектральный вес, который есть мнимая часть восприимчивости системы. Для спиновой системы восприимчивость это просто коррелятор типа $<S^i(t)S^j>$, если есть один атом в элементарной ячейке, можно рассчитать эту штуку и получить аналитическое выражение для интенсивности рассеяния нейтронов на магнетике. Если у нас два атома и более, то, видимо, надо отдельно вводить восприимчивости для разных подрешеток, но тогда не понятен их физический смысл (вообще как измерить восприимчивость отдельной подрешетки?). Так что конечная цель-по каким-то простым оценкам понять, почему на эксперименте вдруг внезапно разные моды имеют сильно различные интенсивности (для магнетиков хорошо бы понять как зависит эта интенсивность от комбинации обменных параметров, но это уже сильно детали). Потому хотелось бы разобраться сначала на простом примере с фононами, наверняка это должно быть где-то описано в литературе.

[Munin]

Phx в сообщении #1098136 писал(а):

Я имею в виду то, что бордовая ветка (которая на моем рисунке не из нуля выходит) не должна быть видна на эксперименте вообще (ну да, здесь ее вообще оптической и не назовешь), если исследуется моноатомная цепочка. Значит ее интенсивность, возможно, увеличивается с увеличением разницы между массами.

А я имею в виду, что говоря про оптическую, вы возможно говорите не про бордовую ветку, а про верхнюю часть синей ветки, выходящей из нуля. Уж ей-то с чего ослабляться?

Правда, ответа на ваш первый вопрос я не знаю, так что пока мои замечания не стоит принимать всерьёз. (Может, даже когда-то знал, но забыл.)

[amon]

Обращаю Ваше внимание на то, что при равенстве масс изменится период решетки, поэтому рисовать дисперсии надо в расширенной зонной схеме. Кроме того, вот это:

$$\begin{pmatrix} \omega^2m_a-2A & 2A \cos(k)& \\ 2A\cos(k) & \omega^2m_b-2A& \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_a& \\ u_b& \end{pmatrix}$$

вещь для меня абсолютно загадочная.

[Munin]

amon в сообщении #1098203 писал(а):

Обращаю Ваше внимание на то, что при равенстве масс изменится период решетки, поэтому рисовать дисперсии надо в расширенной зонной схеме.

Что по сути и сделано. Для меня остаётся непонятным, почему расширенная схема остаётся другой. Как будто квазиимпульс сохраняет прежние отождествления... а, вот в этом, кажется, собака и порылась!

-- 09.02.2016 20:16:27 --

Теперь надо разобраться, почему возникают новые отождествления, а приводит это к уменьшению числа веток на расширенной схеме.

-- 09.02.2016 20:17:07 --

А, новые отождествления возникают в прямой решётке, а квазиимпульс-то живёт в обратной!

Теперь надо всё это впихнуть в мозг...

[Cos(x-pi/2)]

Phx
Для аккуратности полезно уточнить: уравнения для амплитуд колебаний атомов выглядят не так, как у Вас. Матрица 2х2 должна умножаться на столбец с амплитудами и результат приравнивается столбцу с двумя элементами, равными нулю; вот тогда это будет система однородных линейных уравнений для амплитуд, и тогда приобретёт смысл условие её нетривиальной разрешимости.

Во-вторых, чтобы разобраться в этой задачке, надо чётко осознать, что "межатомное расстояние" и "период" $a$ цепочки атомов это не одно и то же в случае двухатомной цепочки. Причём, нельзя "измерять $k$ в единицах расстояний между атомами", ибо $k$ имеет размерность обратную размерности длины.

В правильной формуле для спектра частот должна быть вместо вашей $\cos^2(k)$ написана функция $\cos^2(ka/2),$ где $a$ - период двухатомной цепочки, равный сумме двух соседних межатомных расстояний. Эта функция периодична по переменной $k$ с периодом $2\pi/a,$ и поэтому все собственные колебания двухатомной цепочки достаточно рассматривать только в так называемой первой зоне Бриллюэна - в интервале значений $k$ величиной $2\pi/a$. Так у Вас и нарисовано на первом рисунке: оптическая и акустическая ветви спектра частот двухатомной цепочки изображены для значений $k$ от $-\pi/a$ до $\pi/a.$

При переходе же к пределу равных масс (и равных межатомных расстояний) формулы для двухатомной цепочки продолжают описывать цепочку как систему с прежним периодом $a,$ равным удвоенному межатомному расстоянию, хотя в этом пределе наименьший период цепочки скачком стал вдвое короче - стал равным одному межатомному расстоянию.

Т.е., строго говоря, переход к пределу равных масс не является непрерывным: период цепочки скачком уменьшается в два раза, а старая картинка спектра показывает только непрерывное исчезновение щели между ветвями в прежней зоне Бриллюэна, но не учитывает скачкообразное двукратное изменение (увеличение) размера зоны Бриллюэна.

Таким образом, пользуясь для описания спектра частот одноатомной цепочки "неправильной" зоной Бриллюэна (с прежним размером $2\pi/a,$ где $a$ - удвоенный период одноатомной цепочки), мы имеем в этой слишком короткой зоне Бриллюэна две ветви (без щели между ними), и имеем периодичность такого спектра с периодом $2\pi/a.$ Но поскольку на самом деле наименьший период одноатомной цепочки есть $a/2,$ то, согласно теории, правильный размер зоны Бриллюэна есть

$\dfrac{2\pi}{a/2}=\dfrac{4\pi}{a}$

и ветвь спектра частот в ней должна быть одна.

Поэтому на "неправильной" картинке (полученной для двухатомной цепочки в пределе равных масс, равных жёсткостей и равных межатомных расстояний) мы имеем право руками перенести куски верхней ветви вправо и влево на $2\pi/a,$ пристыковав их к концам акустической ветви. Тем самым получим просто другое изображение прежнего бесщелевого спектра, но теперь оно, как и должно быть в теории одноатомной цепочки, имеет вид одной длинной акустической ветви в широкой зоне Бриллюэна - шириной $4\pi/a=2\pi/a',$ где $a'$ - период одноатомной цепочки (т.е. межатомное расстояние в ней).

[Phx]

Всем спасибо за ответы!
Cos(x-pi/2), да, извиняюсь за неправильные уравнения-это описка.

Спасибо за разъяснения. То есть получается, то, что мы делаем неправильно при описании одноатомной цепочки с помощью двух атомов-это задание руками неправильной периодичности? (при, собственно, решении уравнений движения в такой "удвоенной" цепочке)

[Munin]

Cos(x-pi/2)
Спасибо! Прояснилось в голове! Сам бы я не додумался!

Phx в сообщении #1098232 писал(а):

То есть получается, то, что мы делаем неправильно при описании одноатомной цепочки с помощью двух атомов-это задание руками неправильной периодичности?

Это, в принципе, не "неправильно", так можно сделать - но мы тогда получим вдвое более короткую зону Бриллюэна, и "фантомную" бурую ветку, вполне закономерно.

-- 09.02.2016 22:42:24 --

То есть, можно брать, в принципе, любой кристалл, и удваивать, утраивать etc в нём элементарную ячейку, и тогда у нас просто будут появляться лишние копии уже имеющихся веток.

И даже понятен их физический смысл: они будут отличаться от исходных неким "квантовым числом", отвечающим выбору подрешётки в нашей решётке с "у-$n$-рённой" элементарной ячейкой. Точно так же, как в графене есть две треугольные подрешётки, дающие "квазиспин".

[Cos(x-pi/2)]

Munin, да, точно!

Действительно, дело не в том, что брать за период удвоенный или утроенный (и т.д.) наименьший период цепочки - означает "делать неправильно"; дело лишь в том, какое описание спектра принять за стандартное, за общепринятое. Общепринятым считается описание спектра в наибольшей зоне Брилюэна, т.е. в зоне Бриллюэна, отвечающей наименьшему периоду цепочки (а в 3-мерных задачах - в зоне Бриллюэна, отвечающей наименьшим трансляционным периодам кристалла).

При этом важно не забывать, что наряду с собственными частотами картина собственных колебаний (картина той или иной колебательной "моды") определяется ещё и самими решениями уравнений динамики, т.е. - фазировкой и относительной амплитудой колебаний разных атомов с данной собственной частотой. Физическое различие между картинами колебаний, т.е. между разными собственными модами, не зависит от нашего способа рисования вевтвей спектра, а выявляется именно как различие (линейная независимость) решений уравнений динамики.

Phx
Это лучше хотя бы один раз в жизни самостоятельно разобрать на примерах: вычислить не только спектр $\omega_j(k),$ но и картинку колебаний атомов в цепочке для нескольких конкретных значений волнового числа $k$ и соответствующих собственных частот $\omega_j(k).$ На форуме такие выкладки - довольно громоздкое занятие, поэтому приведу только простейшее пояснение.

Возьмём нашу якобы "неправильную" картинку с двумя ветвями спектра частот одноатомной цепочки в "неправильной" зоне Бриллюэна (размером $2\pi/2a',$ где $a'$ - межатомное расстояние). И найдём картину "оптической моды" c $k=0;$ т.е. найдём из уравнений динамики картину колебаний атомов с наибольшей собственной частотой. Вычисление пропускаю, назову сразу ответ: оказывается, что в каждой паре соседних атомов эти соседние атомы колеблются противофазно с одинаковыми (по модулю) амплитудами. Т.е. если представить нашу одноатомную цепочку как состоящую из ячеек длиной $a=2a',$ то в каждой ячейке имеем два одинаковых атома с номерами "1" и "2", и они колеблются навстречу друг другу; причём, эта картина одинакова во всех ячейках, чему и соответствует значение $k=0$ (отсутствие фазового сдвига от ячейки к ячейке, бесконечная длина волны $\lambda=2\pi/k).$

А теперь возьмём "правильную" картинку спектра - с одной акустической ветвью в "правильной" зоне Бриллюэна (размером $2\pi/a').$ В этой картинке спектра та же самая собственная частота (т.е. наибольшая) расположена на конце акустической ветви, на границе зоны Бриллюэна: при $k=\pi/a'.$ Как выглядит это колебание атомов? Тут даже и без явного решения уравнения динамики понятно: волновому числу $k=\pi/a'$ соответствует длина волны $\lambda=2\pi/k=2a',$ а это автоматом означает, что соседние атомы колеблются противофазно, с одинаковыми (по модулю) амплитудами. Таким образом, мы получили прежнюю картину колебательной моды.

Этот пример показывает, что годятся оба способа изображения спектра; атомы колеблются себе согласно уравнениям динамики для колебательной моды с данной собственной частотой и не знают, как мы собираемся изображать спектр.

Как уже сказал Munin, можно аналогично выбрать и ещё больший период одноатомной одномерной цепочки, кратный межатомному расстоянию $a'.$ Пусть, например, в такой искусственно выбранной ячейке находится $s$ одинаковых атомов. Тогда единственная акустическая ветка сложится как гармошка: её кусочки уместятся в коротенькой зоне Бриллюэна, и они будут нам казаться "оптическими" ветвями; тем самым мы получаем одну коротенькую "акустическую" ветвь (содержащую $\omega=0$ при $k=0)$ и $s-1$ штук "оптических" ветвей. Дополнительно к $k$ появилось квантовое число "номер ветви" $j$, принимающее $s$ значений. А в описании колебательной моды появился "номер атома в ячейке", принимающий $s$ значений. "Оптическая" мода той или иной ветви с, например, $k=0$ здесь характеризуется определёнными фазовыми сдвигами колебаний атомов с разными номерами внутри одной большой ячейки (фазовые сдвиги должны найтись из уравнений движения). Ну, а при стандартном описании, т.е. - в терминах одной акустической ветви в большой зоне Бриллюэна, отвечающей одному атому на ячейку, та же самая картина колебаний атомов соответствует ненулевому значению $k \neq 0$ в этой зоне Бриллюэна, (выходящему за пределы "короткой зоны Бриллюэна", отвечавшей выбору многократной ячейки размером $a=sa'$ в цепочке).

[AnatolyBa]

А как теперь с нейтронами разобраться?
Я вот у Киттеля нашел две странички и несколько ссылок. Старых правда, но может быть это то что нужно

[Cos(x-pi/2)]

AnatolyBa, да, с сечением неупругого рассеяния нейтронов это уже более сложный сюжет...

(Сходу можно сказать только, что следует различать когерентное рассеяние - случай, когда нейтрон взаимодействует целиком с кристаллом, т.е. с колебательной модой в одной из ветвей спектра, рождая или поглощая соответствующий фонон $\hbar \omega_j(\vec{k}),$ и некогерентное рассеяние - случай, когда нейтрон взаимодействует локально с конкретным ядром атома в кристалле. Умолкаю, в этой теме у меня маловато знаний, надо гуглить ссылки и самообразовываться... :-))

[Phx]

Cos(x-pi/2) , спасибо за доступное объяснение! Сейчас у меня ощущение, что я понимаю, хотя это все кажется несколько непривычным, пришлось цепочки атомов порисовать :)

[Cos(x-pi/2)]

Phx, о рассеянии нейтронов в магнитных кристаллах вот попалась хотя и старенькая, но вроде бы весьма подробная статья в УФН (можно там в их поисковой системе ещё и другие статьи поискать о рассеянии нейтронов):

http://ufn.ru/ru/articles/1963/5/b/
"Теория рассеяния медленных нейтронов в магнитных кристаллах", Ю.А. Изюмов.

[Phx]

Спасибо! Буду изучать.