Неравенство, число корней уравнения

[mr.tumkan2015]

Определить число корней уравнения

1) $(x+1)(x-2)(x-5)=1$

Тут лучше просто раскрыть скобки и через производную или есть способ удобнее?

2) Доказать, что неравенство $x^{\frac{7}{3}}\ge \frac{7x}{3}-\frac{4}{3}$ справедливо при положительных $x$.

Очеь похоже на неравенство бернулли, но не оно. Есть только идея графически просто решить. Есть ли другие варианты?

[DeBill]

mr.tumkan2015
1. Можно посмотреть в точках -2,0,3 и 100
2. Ну избавьтесь от дробных степеней - зачем они Вам - подстановкой.
И по Безу: угадали корень - поделили, угадали - поделили...

[mr.tumkan2015]

DeBill в сообщении #1098035 писал(а):

mr.tumkan2015
1. Можно посмотреть в точках -2,0,3 и 100
2. Ну избавьтесь от дробных степеней - зачем они Вам - подстановкой.
И по Безу: угадали корень - поделили, угадали - поделили...

Спасибо.

1. а что дают эти числа. Я понимаю, что числовую прямую можно разбить на 4 промежутка, граничными точками взять точки смены знака скобки. А контрольными точками внутри каждой из областей взять точки $-2,0,3 и 100$ Но вот только как это грамотно объяснить -- почему так и зачем?
2. $x^{\frac{7}{3}}\ge \frac{7x}{3}-\frac{4}{3}$

$x^{\frac{7}{3}}-x\ge \frac{4x}{3}-\frac{4}{3}$

$(x-1)x^{\frac{4}{3}}\ge \frac{4}{3}(x-1)$

$(x-1)^2(\sqrt[3]x-1)>0$

[NSKuber]

mr.tumkan2015 в сообщении #1098037 писал(а):

$x^{\frac{7}{3}}-x\ge \frac{4x}{3}-\frac{4}{3}$

$(x-1)x^{\frac{4}{3}}\ge \frac{4}{3}(x-1)$

Что-то тут лишнее у икса появилось.

Коэффициенты и показатели второй задачи так и просят посмотреть значение обеих сторон в точке $1$, а затем сравнивать производные.

[Shadow]

mr.tumkan2015 в сообщении #1098034 писал(а):

2) Доказать, что неравенство $x^{\frac{7}{3}}\ge \frac{7x}{3}-\frac{4}{3}$ справедливо при положительных $x$.

Очеь похоже на неравенство бернулли, но не оно.

Бернулли. $x=y+1$

[DeBill]

mr.tumkan2015

mr.tumkan2015 в сообщении #1098037 писал(а):

а что дают эти числа.

Если в одной точке функция больше 1, а в другой - меньше, то где-то между ними равна 1 (непрерывность)

А вот в выкладках ниже у Вас 2 ошибки.

Shadow в сообщении #1098046 писал(а):

Бернулли. $x=y+1$

И правда Бернулли!

[Евгений Машеров]

Ну, я бы продифференцировал до раскрытия скобок, по формуле производной произведения. Дальше ищем, где минимумы и максимумы, чему они равны и где могут лежать корни.

[mihiv]

1. Можно еще записать уравнение так:

$$(x+1)(x-5)=\dfrac 1{x-2}$$

Левая часть равенства парабола, правая - гипербола. Если прикинуть графики, то очевидно, что есть три действительных корня.