Сходимость ряда

[Юстас]

Пусть ряд $\sum_{1}^{\infty} b_n , b_n>0 $ сходится, а ряд $\sum_{1}^{\infty} nb_n $ расходится. Далее, пусть a_n - различные натуральные числа. Требуется показать, что ряд $\sum_{1}^{\infty} a_nb_n $ также расходится. У меня получилось доказательство для случая, когда b_n монотонно убывают, но возникают трудности если этого предположения не делать.

[Руст]

Достаточно положительности. Соберите члены от номера 2^k до 2^(k+1) вместе.

[Юстас]

Често говоря непонятно что это дает. Я пытаюсь оценить снизу ряд
$ \sum a_nb_n $ рядом $\sum nb_n $.
Возможно, Вы имеете в виду другой подход?

[Руст]

первая больше половины второго в каждом участке.

[Юстас]

Руст писал(а):

первая больше половины второго в каждом участке.

Для не убывающей последовательности b_n это неверно.

[Сергей Михайлов]

Юстас писал(а):

Пусть ряд $\sum_{1}^{\infty} b_n , b_n>0 $ сходится, а ряд $\sum_{1}^{\infty} nb_n $ расходится. Далее, пусть a_n - различные натуральные числа. Требуется показать, что ряд $\sum_{1}^{\infty} a_nb_n $ также расходится. У меня получилось доказательство для случая, когда b_n монотонно убывают, но возникают трудности если этого предположения не делать.

У меня такое ощущение, что утверждение просто неверно. Попробую привести пример. Разобьем натуральные числа на два множества: A - степени двойки (от нулевой и до бесконечности) и множество В - остальные натуральные числа. Определим b_n = \frac{1}{n!}, \, n \in B, \quad b_n = \frac{1}{n}, \, n \in A.

Тогда ряд \sum b_n = \sum\limits_{n \in A} b_n + \sum\limits_{n \in B} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{2^k} + \sum\limits_{n \in B} \frac{1}{n!} < 2 + e, т.е. сходится.

Ряд \sum nb_n расходится, так как содержит бесконечно много единиц на позициях, являющихся степенями двойки.

Теперь определим последовательность a_n = 2 + 2log_2 n, \, n \in A, \quad a_n = 2n+1, \, n \in B. Опеределенные таким образом числа будут натуральными и различными. Действительно, если n \in A, то a_n четно и строго возрастает с ростом n. Если же n \in B, то a_n нечетно и также строго возрастает с ростом n. Теперь осталось лишь показать сходимость ряда
\sum a_nb_n = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2k+2}{2^k} + \sum\limits_{n \in B} \frac{2n+1}{n!} < \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{k}{2^{k-1}} + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n!} - а эта сумма трех сходящихся рядов.

[Dan_Te]

Красивый контрпример!

[Alex_L]

Да тут очевидно, что если b(n) - монотонная последовательность, то конечный ряд сходится, просто мажорируем последовательность a(n).

[zkutch]

мне тоже контрпример кажется верным. И он не противоречит тому, что, как говорит Юстас, у него есть свое доказательство в случае убывающих b(n) - в построенном контрпримере последовательность b(n) не монотонна.

[Юстас]

Да, утверждение оказалось верным только для монотонной b_n. Спасибо Сергею за красивый пример.