Вычисление знаков "пи"

[maximk]

Не могли бы дать источник, где можно прочитать о том, как из определения числа $\pi$ следует, что оно заключено между $3$ и $4$, да и вообще, как его вычисляли в евклидовой геометрии.

[Brukvalub]

maximk в сообщении #1094360 писал(а):

Не могли бы дать источник, где можно прочитать о том, как из определения числа $\pi$ следует, что оно заключено между $3$ и $4$

Какой тут нужен "источник"? Вписанный в окружность правильный $6$-угольник дает нижнюю оценку, а описанный квадрат - верхнюю. Источник: учебник школьной геометрии за 7-й класс.

[Sender]

Кстати, а как в 7-м классе доказывается, что длина окружности меньше периметра описанного квадрата?

[Brukvalub]

Тех семиклассников, которые еще не догадались, выводят на площадь и там стыдят!

[Евгений Машеров]

Через связь длины окружности и площади круга, например. "Нарезку торта" семиклассники поймут, и как из неё следует что $\pi$ для площади круга и для длины окружности это одно и тоже, уяснят, а строгость ими ещё не востребована. А то, что площадь описанного квадрата больше площади круга - очевидно.

-- 26 янв 2016, 11:48 --

maximk в сообщении #1094360 писал(а):

Не могли бы дать источник, где можно прочитать о том, как из определения числа $\pi$ следует, что оно заключено между $3$ и $4$, да и вообще, как его вычисляли в евклидовой геометрии.

Я полагаю, что последняя фраза подразумевает "геометры во времена Евклида"? А то любое современное вычисление, через ряды, через формулы для произвольного знака и пр. это тоже $\pi$ в Евклидовой геометрии...
Геометры вычисляли его (сюрприз! сюрприз!) чисто геометрически. Построили два многоугольника, вписанный и описанный, они дали оценку $\pi$ снизу и сверху, и в качестве "рабочей" величины предложили использовать дробь с не очень страшным знаменателем, лежащую в этих пределах. Первый доказанный пример такого расчёта - у Архимеда, он использовал 96-угольник, и "вилка" была $3\frac{10}{71}<\pi<3\frac 1 7$, а практически он предложил пользоваться $\frac {22} 7\approx 3.142857142857143 \ldots$. При этом начинали с шестиугольника, для которого оценки очевидны, и последовательно удваивали число сторон. Такой алгоритм предложил китайский математик Лю (а фамилию его в России принято писать Хуэй)
https://en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%2 ... _algorithm
построив так 3072-угольник, для которого получил 3.14159, а затем усовершенствовал технику расчёта, позволившую получить значение 3.14156 для 96-угольника. Затем около 480 года Цзу Чунджи применил его алгоритм к 12288-угольнику, получив семь знаков после запятой, а также предложил аппроксимацию простой дробью $\frac {355}{113}$, дающую 6 знаков после запятой.
До этого приближения к числу $\pi$ были известны, но, по-видимому, носили эмпирический характер, как библейское $\pi=3$, вавилонское $\pi=\frac {25} 8=3.125$ и египетское $\pi=\frac {256}{81}\approx 3.1605$, и могли быть получены измерением окружностей реальных круглых объектов (как это рассказывается в Библии при описании Соломонова Храма:

Цитата:

И сделал литое из меди море, - от края его до края его десять локтей, - совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом.

а затем подбором подходящих для расчёта дробей. В Индии наряду с приближением, соответствующим 3.1416 употреблялось и элегантное, но не особо точное $\sqrt{10}\approx 3.1622\ldots$
Последующие работы уже делались негеометрическими методами, а именно суммированием рядов (ряд Мадхавы, ок. 1400 года, переоткрытый Грегори и Лейбницем; однако Мадхава придумал, как этот, крайне медленно сходящийся, ряд преобразовать к более быстро сходящемуся и вычислил $\pi$ с 11 знаками, затем Аль-Каши получил 17, из них 16 верных). Лебединой песнью чисто геометрического подхода было вычисление Лудольфом ван Цейленом (1540-1610) этого числа с 35 знаками, используя 69175290276410818560-угольник, далее только ряды, а теперь появились и методы для вычисления произвольного разряда $\pi$ (формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа и др.) и методы увеличения точности числа в разы на каждой итерации (алгоритм Брента-Саламина и последующие).

[maximk]

Спасибо.

[svv]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1094382 писал(а):

а фамилию его в России принято писать Хуэй

Порочная практика. Ханжество. Согласны?

[provincialka]

svv

(Оффтоп)

Евгений Машеров просто не хочет получить предупреждение за нарушение правил форума!

[svv]

(Оффтоп)

Но если человека так зовут! Чего тут стыдиться?

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #1094382 писал(а):

Такой алгоритм предложил китайский математик Лю (а фамилию его в России принято писать Хуэй)

К сожалению, всё наоборот: его фамилия Лю, а то, что идёт после фамилии - личное имя. И такой же порядок принят в Корее, Японии, Вьетнаме... Причём в некоторых западных СМИ иногда переставляют имя и фамилию "на западный лад", что делает сложным выяснение истинного значения того и другого.

-- 07.02.2016 21:51:05 --

(Оффтоп)

svv в сообщении #1097479 писал(а):

Порочная практика. Ханжество.

Стандарт. Как написано в стандарте, "для избежания неблагозвучия". Кстати, что интересно, этот стандарт различается для имён людей и для географических названий: провинция Китая называется Аньхой, а не Аньхуэй.

[Евгений Машеров]

Спасибо за уточнение.

[iifat]

(svv)

svv в сообщении #1097479 писал(а):

Ханжество. Согласны?

Как понимаю, помимо ханжества есть и ещё возможная причина. Слышал, у них несколько... эээ... Хуэев, которых они различают с лёгкостью как на письме, так и устно. На вот тяжко и приходится искусственными приёмамию

[whitefox]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1097808 писал(а):

приёмамию

Понятно, что вместо русской точки случайно клацнули по англицкой, но какое занятное слово получилось. Чтобы им обозвать?