Сходимость ряда с cos(n^2)

[Pulseofmalstrem]

NSKuber
У меня пока ряд скорее расходиться (с использованием отрицания критерия Коши сходимости последовательности). Там все сводиться к тому, что надо доказать что
$\varepsilon < \frac{1}{\bigg{N + 1}}\sum \limits_{k = N + 1}^{N + p} \left\lvert \cos(k^2) \right\rvert$
Что существует такой $\varepsilon$, для которого для всех $\bigg{N}$ верно такое неравенство.

[Lia]

Pulseofmalstrem

(Оффтоп)

Pulseofmalstrem в сообщении #1096529 писал(а):

У меня пока ряд скорее расходиться

Вы, возможно, хотели сказать, что он будет расходиться... ну и т.д.

То, что написано ниже - попытка применить критерий Коши для доказательства расходимости ряда из модулей, неудачная причем, с оценкой знаменателя не в ту сторону. Мы занимаемся сходимостью исходного ряда.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

NSKuber, извините, не вчитался.

[alcoholist]

математика наука экспериментальная)))
Сервис вольфрамальфа показывает чудесную картинку, смотря на которую так и тянет предположить, что функция

$$ f(n)=\sum_{k=0}^n\cos k^2 $$

"периодична" с периодом около 700 и амплитудой примерно 15
https://cloud.mail.ru/public/MMsK/nHLJkqeGe

[drinkmilk]

alcoholist
Это я тоже видел, только как доказать ограниченность. Дали подсказку на $O(\sqrt{n}\log(n))$, но как прийти к $\log(n)$.

[tolstopuz]

NSKuber в сообщении #1096503 писал(а):

Может, вы имели в виду модуль суммы?

Да, простите.

Еще ссылаются на неравенство Вейля:

https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl%27s_inequality

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Годная задачка! Нужно будет давать ее неучам на зачете, пусть хоть немного поработают!

[Lia]

(Оффтоп)

У меня в процессе еще одна годная придумалась. Понятно откуда, хотя тут и незачем.
Может, известная.
Исследовать сходимость ряда

$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2\sin k}$$

Но тут наверняка без соизмеримости с $\pi$ никуда, а сейчас рыть неохота.

[NSKuber]

alcoholist

(Оффтоп)

Побольше числа возьмите. Я в Математике считал, сумма $10^5$ членов уже даёт что-то типа $-217$. И неизвестно, что у этой суммы дальше творится.

[DeBill]

Вообще то, числа $n^2 (\mod 2\pi)$ равномерно распределены на отрезке. Вроде бы.
Так что $\sqrt{n}$ - это из ЦПТ (а логарифм - для надежности и упрощения оценок)...
Ну и что? (что - не в смысле, что дальше делать - это вроде понятно - надо как в Дирихле, но сопровождая оценками, а в смысле - как таки это ручками доказать)