Сходимость ряда с cos(n^2)

[drinkmilk]

Подскажите с чего начать чтобы исследовать этот ряд на сходимость. Полное решение не нужно, хочется самому дойти.
Ряд:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n^2)}{n}$$

[gomomorfizm]

drinkmilk
Воспользуйтесь признаком Коши.Докажите,что:
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\cos(n^2)}{n}}<1$

[DiMath]

gomomorfizm
Нельзя тут им пользоваться

[drinkmilk]

gomomorfizm
Данный ряд не постоянного знака. Всеми возможными признаками для знакопеременных рядов я воспользовался, не помогло.

[gomomorfizm]

DiMath
Рассмотрите абсолютно сходящийся ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{|\cos(n^2)|}{|n|}$$

. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.

[Lia]

Он не сходится абсолютно, это очевидно даже без проверки.

gomomorfizm
Воздержитесь от советов в учебных разделах.

[gris]

Дирихле не пробовали?

[drinkmilk]

Пробовал, не смог доказать ограниченность частичных сумм $\cos(n^2)$. Может как-то по другому можно разбить.

[Pulseofmalstrem]

drinkmilk
А вы уверены, что он сходиться? Я попробовал заменить $\cos(n^2)$ на ряд Тейлора и работать с этим как с двойным рядом, воспользоваться возможностью переставить суммирование местами, там получаеться знакопеременный ряд, и можно воспользоваться достаточным признаком сходимости, но увы не видно как, если интересно могу выкладки привести (я сам еще новичек и не уверен в них).

[drinkmilk]

Pulseofmalstrem
В данном случае можно ли заменить $\cos(n^2)$ на ряд Тейлора? Ведь мы смотрим только на натуральные аргументы, которые не дают дифференцируемости в окрестности.

[Brukvalub]

gomomorfizm в сообщении #1096467 писал(а):

Рассмотрите абсолютно сходящийся ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{|\cos(n^2)|}{|n|}$$

. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.

Тождество $(n-1)^2+(n+1)^2=2n^2+2$ доказывает, что, как минимум, один из числителей
трех идущих подряд членов не может быть слишком мал, так что абсолютной сходимости гарантированно нет.

[tolstopuz]

На math.stackexchange.com есть решение, ссылку пока давать не буду. Идея в том, чтобы доказать, что сумма модулей числителей ограничена $O(\sqrt n\log n)$.

[NSKuber]

tolstopuz в сообщении #1096496 писал(а):

сумма модулей числителей ограничена $O(\sqrt n\log n)$.

Разве

Brukvalub в сообщении #1096490 писал(а):

Тождество $(n-1)^2+(n+1)^2=2n^2+2$ доказывает, что, как минимум, один из числителей
трех идущих подряд членов не может быть слишком мал,

не доказывает, что сумма модулей числителей-косинусов $\geqslant Cn$? Может, вы имели в виду модуль суммы? На то похоже по численным экспериментам.

[Brukvalub]

NSKuber в сообщении #1096503 писал(а):

Может, вы имели в виду модуль суммы?

Нет, я написал именно то, о чем и хотел сказать. Если все три числа $\cos (n-1)^2 , \cos n^2 , \cos (n+1)^2$ малы, то $(n-1)^2=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot k+ \varepsilon_1, n^2=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot l+ \varepsilon_2 , (n-1)^2=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot m+ \varepsilon_3 , и тогда \pi\cdot (k+m-2l) $ должно быть сильно похожим на 2$, а это плохо.

[NSKuber]

Brukvalub
К вашим соображениям у меня претензий и нет, моё высказывание относилось к процитированной части сообщения tolstopuz.