Соотношения Крамерса-Кронига

[FoxWIse]

Уважаемые форумчане, не могу разобраться в одном вопросе, надеюсь на Вашу помощь.
Известно что соотношения Крамерса-Кронига связывают реальную и мнимую части комплексной функции.
$\operatorname{Re}f(\omega)=\dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\operatorname{Im}f(x)dx}{x-\omega}$
И могут использоваться в физике для вычисления реальной или мнимой части диэлектрической проницаемости или комплексного показателя преломления.
$\hat{n}=n+ik$
$\varepsilon=\varepsilon1+i\varepsilon2
Предположим, нам дам спектр показателя поглощения k вида:
$k(\omega)=\frac{1}{1+(\omega-10)^2}$

Пробуя посчитать по соотношению Крамерса-Кронига реальную часть функции, получаем:
$$\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x-\omega)(1+(x-10)^2)}=\frac{1}{-\omega+(10+i)} ,\text{ for} \operatorname{Im}(\omega\ne0 ;)$
Пользовался сервисом WolframAlpha.
Теперь вопрос, из-за чего вся эта тема создавалась. Как наше $\omega$ может быть строго комплексным? Ведь это частота. По сути, логично, что она не может лежать на действительной оси, поскольку получается вычет на контуре интегрирования.
Вопрос: Тогда как ученые применяют соотношения Крамерса-Кронига дисперсионных отношений учитывая это противоречие, что частота не должна лежать на действительной оси. Какую важную деталь я упускаю?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- уберите увеличенный шрифт;
- наберите формулы нормально, а не в виде картинок;
- вставьте картинку непосредственно в виде картинки.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[alcoholist]

FoxWIse в сообщении #1095610 писал(а):

строго комплексным

это "чисто мнимым"?

[FoxWIse]

alcoholist в сообщении #1095779 писал(а):

FoxWIse в сообщении #1095610 писал(а):

строго комплексным

это "чисто мнимым"?

Нет, оно вполне может иметь и реальную часть, главное чтобы оно не лежало на действительной оси \operatorname{Im}(f)$\ne0$

[profrotter]

FoxWIse в сообщении #1095610 писал(а):

Тогда как ученые применяют соотношения Крамерса-Кронига дисперсионных отношений учитывая это противоречие, что частота не должна лежать на действительной оси.

Дело в том, что учёные знают, что эти соотношения связывают действительную и мнимую части преобразования Фурье действительной функции, отличающейся от нуля только при положительных значениях переменной. Преобразование Фурье же действительной функции имеет действительную часть чётно-симметричной, а мнимую нечётно-симметричной, чего нельзя сказать о той функции, которую вы рассматривали. Всё дело в том, что вы взяли выражение, описывающее $k(\omega)$ только для положительных частот и не обеспечили симметрию, информация о которой теряется (в неокрепших умах), когда рассматривают только "физические частоты" и боятся "математических".

[FoxWIse]

Цитата:

Всё дело в том, что вы взяли выражение, описывающее $k(\omega)$ только для положительных частот и не обеспечили симметрию.

Вас понял. Давайте попробуем.
Берем :
k($\omega$)=$\frac{\omega}{1+\omega^2}$ ;

Засовываем в умную машину :
$\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{xdx}{(1+x^2)(x-\omega)}= \frac{i}{\omega+i} , for \operatorname{Im}(\omega)>0 ;
Замечание стоящее, спасибо. Но проблема с тем, что у нас не берется интеграл для действительных \omega, не решилась. В чем теперь подвох?

[amon]

Тут еще такое дело. Соотношение Крамерса-Кронига пишется для диэлектрической проницаемости (линейного отклика), а показатель преломления - в лучшем случае корень из $\varepsilon$. Посему, терзают меня сомнения относительно применимости этого соотношения к показателю преломления.

PS интеграл
$\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{xdx}{(1+x^2)(x-\omega)}$ надо считать в смысле главного значения (умная машина это тоже должна уметь).

[profrotter]

Я в умных машинах не разбираюсь, но если она не умеет (или вы не знаете как заставить её уметь), то попросите её посчитать следующее (саму или последовательно с вашей помощью):

$$\lim\limits_{a\to\infty}\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{-a}^{\omega-\varepsilon}\frac{xdx}{(1+x^2)(x-\omega)}+\int\limits_{\omega+\varepsilon}^{a}\frac{xdx}{(1+x^2)(x-\omega)}\right)$$

[DimaM]

Гм, а что, вычеты уже отменили?

[FoxWIse]

Всем спасибо, разобрался. Машина плохо считает интегралы в смысле главного значения. Если аккуратно считать, то все получается.