Нормальность порождает ненормальность.

[ProPupil]

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ некореллированы, имеют нормальное распределение, и, дополнительно, их сумма и разность также нормальны. Обязан ли случайный вектор $(\xi, \eta)$ иметь нормальное распределение?

[DeBill]

Нет, конечно.
Пусть функция $\gamma(x,y)$ - мала, финитна, и антисимметрична (меняет знак при симметрии) относительно осей координат и их биссектрисс. Возмутим (добавив к) плотность стандартного нормального - и получим Ваше безобразие....
Пример такой $\gamma(x,y)$ - - легко, типа:

$ \gamma = \alpha(r) \cdot \sin(4\varphi)$, где $\alpha(r) $ - маленькая, с носителем на [1,2].