Любая наперед заданная комбинация цифр в "пи"

[maximk]

Содержит ли ряд цифр после запятой в десятичной записи числа $\pi$ любую наперед заданную комбинацию цифр?

Нет, если верно, что среди знаков после запятой всегда найдется только конечная последовательность подряд идущих повторяющихся цифр длины $N$ для некоторого $N$. Но это утверждение не может быть неверным, т.к. в противном случае нашлась бы бесконечная последовательность повторяющихся цифр, тогда число $\pi$ рационально, что противоречит его иррациональности.

Укажите пожалуйста на ошибку.

[gris]

Пример: Число $0.12345678910111213...$ — после нуля выписываются цифры натуральных чисел по порядку.
Оно иррационально и содержит любую конечную(я тоже пропустил это слово ) комбинацию цифр.
Ошибку, наверное, в переходе к бесконечности. Да, не существует ограничений на длину, скажем, строки нулей. Но почему из этого следует, что должна существовать бесконечная последовательность?

[Brukvalub]

maximk в сообщении #1094078 писал(а):

Содержит ли ряд цифр после запятой в десятичной записи числа $\pi$ любую наперед заданную комбинацию цифр?

Бессмысленный тривиальный вопрос, если в нем не добавить слова "конечной длины" после слова "цифр".

[gris]

Но если подойти ещё строже, то надо определить свойство "содержать комбинацию". Почему обязательно непрерывным куском и в том же порядке? Ну, порядок оставим. Содержит ли число $\pi$ бесконечную строку нолей подряд? Нет. А содержит ли оно комбинацию из бесконечного количества нулей? Вопрос сложный, если считать комбинацию подпоследовательностью цифр числа. А вай нот?

[maximk]

Brukvalub в сообщении #1094082 писал(а):

maximk в сообщении #1094078 писал(а):

Содержит ли ряд цифр после запятой в десятичной записи числа $\pi$ любую наперед заданную комбинацию цифр?

Бессмысленный тривиальный вопрос, если в нем не добавить слова "конечной длины" после слова "цифр".

Почему? Объясните пожалуйста.

-- 25.01.2016, 13:14 --

gris, похоже, что приведенное вами число не может содержать любую наперед заданную бесконечную последовательность цифр после запятой (в "разрывном" порядке бесконечная последовательность не может "располагаться", ибо это противоречит ее бесконечности), иначе бы оно было бы рациональным (докажите).

-- 25.01.2016, 13:26 --

grizzly, спасибо, не стал поправлять сообщение, но очевидность понял. В вашем примере ответ "нет", ибо существует контрпример: $5$.
Надо подумать над вопросом gris о нулях. Может стоит использовать какие-то свойства трансцендентных чисел? Например связанные с их приближением рациональными.

[whitefox]

maximk в сообщении #1094078 писал(а):

Содержит ли ряд цифр после запятой в десятичной записи числа $\pi$ любую наперед заданную комбинацию цифр?

Если под "комбинацией цифр" понимается "группа из k последовательных цифр", а число $\pi$ нормальное число, то да.

[gris]

Так уточните же, что понимается под комбинацией? Если это непрерывная по нумерации подпоследовательность последовательности десятичных цифр числа, то для конечных комбинаций вопрос не связан с иррациональностью. Все такие числа иррациональны. А для бесконечных действительно тривиален. Число $\pi$ не может содержать бесконечную подстроку нолей.

[ET]

Вы опять?

[maximk]

Да, вы правильно понимаете вопрос. А вообще какие есть мысли по поводу того, с какой стороны подходить к вопросу о любой конечной последовательности?
ET, можете быть спокойны, я не сабераюсь решать эту задачу, если она не является элементарной (в конце концов я не задаюсь вопросом о нормальности числа, мой может быть много проще, вот я и уточняю).

[svv]

maximk в сообщении #1094099 писал(а):

А вообще какие есть мысли по поводу того, с какой стороны подходить к вопросу о любой конечной последовательности?

Английская википедия, статья Normal number писал(а):

it is widely believed that the numbers $\sqrt 2$, $\pi$, and $e$ are normal, but a proof remains elusive

Кстати, по вопросу из прошлой темы.

maximk в сообщении #1056263 писал(а):

А как на счет вопроса о том, бесконечное ли число раз встречается эта комбинация

Вы можете ответить на этот вопрос (с аргументацией), в предположении, что $\pi$ — нормальное число? Пусть это будет небольшим тестом.

[grizzly]

Замечу занудства ради, что требовать нормальности от числа только ради того, чтоб встретить в нём любую наперёд заданную конечную последовательность цифр -- явный перебор. В мире есть более чем достаточно ненормальных чисел, удовлетворяющих этому условию.

[maximk]

svv, если оно нормально, то комбинация встречается бесконечное число раз, в противном случае (комбинация встречается конечное число раз) имеем противоречие с иррациональностью, ибо частота появления каждой цифры одинакова в силу нормальности.

[svv]

Пусть теперь число не обязательно нормальное. Можете доказать, что если любая конечная комбинация встретится в нём хотя бы один раз, то она встретится и бесконечное количество раз?

[maximk]

Пусть встретилась некая последовательность $A$ из n произвольных членов, по условию встречаются также последовательности $B$, $C$ и т.д., построенные таким образом: $B$ состоит из всех членов $A$ в том же порядке и еще некоторого произвольного члена, $C$ состоит из всех членов $B$ в том же порядке и еще некоторого произвольного члена соответственно, и т.д.. Таким образом получаем, что в числе $\pi$, в десятичной записи которого после запятой стоит бесконечно много знаков, при условии, что $A$ встречается раз, она встречается и бесконечно много раз (ибо встречаются $B$, $C$, ...).

[svv]

Да, верно. А уж «различность» этих дополнительных членов обеспечить нетрудно.