задание с логарифмами

[stedent076]

Добрый вечер!
Прошу у вас помощи с заданием.
Решите неравенство:
$\frac{\log_9x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}$$\leqslant\log_{36}9$
После замены оснований, преобразований и сокращений, я получил:
$\frac{\log_9x}{\log_{36}x-2}\leqslant\log_{36}9$
Что делать дальше?

[gris]

Логарифмы полезно приводить к одному основанию. А в знаменателе точно $36$ в левой части?

[stedent076]

gris
Да. Я пробовал, не получается.

[gris]

Как у Вас получилось в знаменателе основание $36$? Можно, конечно, и $36$, но тогда как сокращалось?

[stedent076]

gris
Получилось так:
$\frac{1}{\log_{2-x}18}-\frac{1}{\log_{2-x}36}= \frac{1}{\log_{2-x}2+\log_{2-x}9}-\frac{1}{\log_{2-x}9+\log_{2-x}2+\log_{2-x}2}= \frac{\log_{2-x}2}{(\log_{2-x}9+\log_{2-x}2)\cdot(\log_{2-x}9+\log_{2-x}2+\log_{2-x}2)} =\frac{1}{\log_{2-x}36}\cdot\frac{\log_{2-x}2}{\log_{2-x}18}=\log_{18}2\cdot\log_{36}x-2$

Примечание. Пятая дробь почему-то неправильно отобразилась, там в знаменателе $(\log_{2-x}9+\log_{2-x}2)\cdot(\log_{2-x}9+\log_{2-x}2+\log_{2-x}2)$

[gris]

Как-то сложно делаете. Немудрено и запутаться.Я бы сразу перешёл к основанию $9$. Обозначу $t=2-x$.

$\dfrac{\log_9x-\log_{18}x}{\log_{18}t-\log_{36}t}=\dfrac{\log_9x-\log_9x/\log_918}{\log_9t/\log_918-\log_9 t/\log_9 36}=$

$\dfrac{\log_9x(\log_918-1)}{\log_9t(1-\log_9 18/\log_9 36)}=...$
Вроде бы попроще? Сократите?
А потом надо ОДЗ разбить на две части естественным образом и в каждой рассмотреть неравенство.

[stedent076]

gris

$\dfrac{\log_9x(\log_918-1)}{\log_9t(1-\log_9 18/\log_9 36)}=...$

а разве не $\dfrac{\log_9x(1-(\log_918)^{-1})}{\log_9t(1-\log_9 18/\log_9 36)}=...$?

[gris]

Я умножил числитель и знаменатель Большой Дроби на $\log_918$. Избавление от многоэтажных дробей тоже полезно.
Не ошибся ли где? Но тут вот что сразу видно: что правая часть положительна, а вот левая? Нет ли перепута в задании?

[stedent076]

gris
нам давала учительница, которая известна своей невнимательностью.

[gris]

А ведь у Вас почти правильно было, если, конечно, поправить $\log_{36}x-2$ на $\log_{36}(2-x)$
Это просто по невнимательности при громоздких преобразованиях. Я стараюсь их избегать.

Тогда смотрим. После перехода к основанию $9$ и у Вас, и у меня получилось $\dfrac {\log_9x\cdot\log_{36}9}{\log_9t}\leqslant\log_{36}9$ или

$\log_{2-x}x\leqslant 1$

Ну тут надо просто аккуратно показать знак левой части. С ответом тоже повнимательнее.
То есть задача вполне пригодна. Но если бы справа стояло $-\log_{36}9$ или$-\log_{36}3$ , то было бы поинтереснее.

[stedent076]

gris
$x\in(0;2)$ ? Без учета ОДЗ, накладываемого знаменателем первой дроби

[gris]

Ну а как же его не учитывать? В точке $x=1$ левая часть не определена, хотя там устранимый разрыв. Но это уже не школьные дела. То есть ОДЗ есть
$(0,1)\bigcup(1,2)$, что является и ответом к задаче.

[stedent076]

gris
Учитывать надо, просто этот учет достаточно тривиален, и я хотел вам пока сообщить область значений x, без учета ОДЗ. Устранимый — т.е. если доопределить функцию в левой части при каким-то значением, для $x=1$ , то она будет непрерывной?

-- 24.01.2016, 19:03 --

gris
Я Вам еще в другой теме отписался, посмотрите, пожалуйста.

[gris]

Да. Вот пример: уравнение $\dfrac{x}{x}=1$. Левая часть в нуле не определена, но её можно доопределить единичкой по непрерывности.

[stedent076]

gris
Большое спасибо за развернутые ответы и потраченное время!)