Помогите, нужна операция над мозгом

[Vechnolos]

Не, не в смысле хирургическая, а в смысле операция как действие, совокупность действий для достижения определенной цели. Нужна помощь в определении действий которые нужно совершить чтобы мозг кое-что понял.

Немного интересуюсь квантовой физикой. Много чего читал и даже немного свыкся со странностями микромира. Но все это на уровне слов. А когда дело доходит до уравнения Шредингера или что-нибудь еще страшнее, то...



Насколько понимаю, у меня серьезные проблемы с математикой. Что я знаю? Ну дифференциальное и интегральное исчисление... Что-то слышал про матрицы (смогу перемножить, сложить две матрицы, найти определитель). А что еще нужно знать для квантовой физики? И если кто знает, то как бы все это органично совместить с решением физических задач, так чтобы не просто тупо теорию читать, но и развлекать себя задачками (плюс и закреплять изученное).

[arseniiv]

А вы просто начинте читать учебник по КМ. Через какое-то время, наверное, физики посоветуют, а пока посмотрите 10.1 в этом посте. То, что будет непонятно, или будет ясно, с какими терминами связано, или, если не будет, в любом случае добро пожаловать с вопросами (и указанием учебника и места, конечно). Когда какое-то заключение автора не кажется очевидным, но при этом предыдущие места вы читали аккуратно — это явный знак. (Это всё общие слова, но и контекст не густ. )

Ну и ещё вы комплексные числа не упомянули. Если знаете — хорошо; не очень — до ТФКП доходить не нужно, просто разбираться в операциях с ними.

[Munin]

Vechnolos в сообщении #1091142 писал(а):

Ну дифференциальное и интегральное исчисление... Что-то слышал про матрицы (смогу перемножить, сложить две матрицы, найти определитель). А что еще нужно знать для квантовой физики?

По сути, это и нужно.
Нужна линейная алгебра: свойства векторов, матриц, собственные числа и векторы - они становятся собственными функциями и значениями.
Нужны дифференциальные уравнения: решение различных краевых задач на 1-мерное и многомерное уравнения Шрёдингера.
Нужны комплексные числа, преобразование Фурье...

В общем, лучше будет, если вы конкретно назовёте первое место, которое вы не понимаете. С указанием учебника.

-- 16.01.2016 11:44:01 --

Ещё, пожалуй, нужно уловить важную аналогию между функциями и векторами - такую, которая позволяет обращаться с функциями как с "бесконечномерными векторами". Например, скалярное произведение двух векторов (в комплексных числах)

$$(a,b)=a_1^*b_1+\ldots+a_n^*b_n$$

аналогично "скалярному произведению" двух функций

$$\int f^*(x)\,g(x)\,dx,$$

а произведение вектора на матрицу

$$(Aa)_i=A_{i1}a_1+\ldots+A_{in}a_n$$

- произведению функции на оператор с заданным ядром

$$\int K(x,x')\,f(x')\,dx'.$$

[Vechnolos]

Цитата:

Через какое-то время, наверное, физики посоветуют, а пока посмотрите 10.1 в этом посте.

Как-то попадались в руки задачники Галицкого и Флюгге, но там у меня сними все было скоротечно и печально.

Наверное на них и надо ориентироваться (раз столько положительных отзывов), но мне чего-то не хватает чтобы справляться с ними.

Цитата:

Ну и ещё вы комплексные числа не упомянули.

Мнимая единица, комплексное сопряжение - это тоже пару раз слышал.

Цитата:

В общем, лучше будет, если вы конкретно назовёте первое место, которое вы не понимаете. С указанием учебника.

Ну пускай будет ЛЛ-3 параграф 3 "Операторы", хотя это, наверное, не столь важно, так как "затор" случается уже в самом начале в любом учебнике.

Вот общую идею я усвоить никак не могу. Вот как я понимаю:

Мы условились, что будем описывать систему с помощью некоторого числа параметров (которые можем измерить одновременно). Это число праметров может быть велико вплоть до бесконечности. Эти параметры формируют так называемое конфигуративное пространство. Каждая точка этого пространства (ну или вектор до этой точки из центра координат) - это некоторое возможное состояние системы.

Может быть и суперпозиция состояний: когда линейная комбинация сразу двух (и более) векторов определяют состояние системы. То есть система находится сразу в нескольких состояниях одновременно.

А вот что тогда такое операторы?

Вроде как их используют для определения собственных значений физической величины. Но как? Умножение опреатора на вектор дает новый вектор, то сеть новое состояние. Это какое-то вращение в конфигуративном пространстве? А какой у него физический смысл? У меня закрывается подозрение, что тут большую роль играет разложение вектора на базисы и замена базиса, что я тоже не понял полностью.

Цитата:

Ещё, пожалуй, нужно уловить важную аналогию между функциями и векторами...

Вектор как матрица-столбец в голове еще укладывается. Пусть даже, если это матрица будет с бесконечным числом строк. Но функция и вектор? Тоже какие-то дебри...

[Munin]

Vechnolos в сообщении #1091268 писал(а):

Эти параметры формируют так называемое конфигуративное пространство.

Конфигурационное.

Может, вам не хватает прочитанного перед этим ЛЛ-1?

Vechnolos в сообщении #1091268 писал(а):

А вот что тогда такое операторы?

То же самое, что операторы в линейной алгебре: это какая-то "машинка", которая получает на входе функцию, и на выходе тоже даёт функцию. То есть, функции из одного функционального пространства в другое (в т. ч. то же самое).

В линейной алгебре операторы линейные, и поэтому могут быть описаны как матрицы. В случае функций (функциональный анализ), операторы тоже линейные, но пространство бесконечномерное. Такие операторы могут быть, "грубо говоря", описаны как ядра $K(x,x'),$ но это только первый шаг к правде. На самом деле, такое ядро $K(x,x')$ может оказаться не функцией, а "обобщённой функцией", не везде принимающей конкретные числовые значения. Например, единичный оператор имеет ядро $\delta(x-x'),$ которое не является функцией в привычном смысле.

Vechnolos в сообщении #1091268 писал(а):

Вроде как их используют для определения собственных значений физической величины. Но как? Умножение опреатора на вектор дает новый вектор, то сеть новое состояние. Это какое-то вращение в конфигуративном пространстве?

В конфигурационном.
И нет, не в конфигурационном. А в гильбертовом.
И не обязательно вращение.

Vechnolos в сообщении #1091268 писал(а):

Это какое-то вращение в конфигуративном пространстве? А какой у него физический смысл?

На этом этапе физического смысла ещё нет. Физический смысл появляется чуть позже, когда мы говорим про то, какие операторы мы рассматриваем, и присваиваем физический смысл этим операторам.

Например, есть операторы наблюдаемых физических величин. Они нужны, чтобы посчитать какие-то величины, характеризующие данное состояние. Например, просто усреднённое значение данной физвеличины. Но не только его.

Кроме того, есть очень важные операторы эволюции. Они говорят, как квантовое состояние меняется со временем. По сути, они решают основную задачу механики: "есть начальное состояние, и надо вычислить, что будет дальше".

Есть и ещё несколько важных операторов... Но если вы соберётесь обсуждать какой-то "оператор вообще", то у него не будет никакого физического смысла.

Vechnolos в сообщении #1091268 писал(а):

У меня закрывается подозрение, что тут большую роль играет разложение вектора на базисы и замена базиса, что я тоже не понял полностью. :-)

Играет. Но это где-то § 12 или позже.

Vechnolos в сообщении #1091268 писал(а):

Вектор как матрица-столбец в голове еще укладывается. Пусть даже, если это матрица будет с бесконечным числом строк. Но функция и вектор? Тоже какие-то дебри... :-)

Ну, представьте себе, что вектор - это значение какой-то функции в трёх точках. И дальше мы берём всё больше и больше точек...
Другой способ представить функцию как матрицу-столбец с бесконечным числом строк: разложим функцию в ряд Тейлора или в ряд Фурье.

[arseniiv]

Ну вот, а я думал, что всё лучше.

Можете представить «координатами» функции её значения в разных точках. Правда, это координаты только в одном базисе*, а чтобы получить координаты в другом, надо, например, взять значения её фурье-образа. Кстати говоря, преобразование Фурье тоже было бы неплохо. Это интегральное преобразование, частный случай упомянутого Munin, так что линейно преобразует функции в функции.

Упомянутая Munin аналогия между функциями и (трёхмерными и другими «обычными») векторами математически выражается в том, что и те, и те — линейные пространства. На линейном пространстве определены сумма элементов и умножение на число (в КМ это уже комплексное число), хотя и от обычных физических векторов, и от векторов состояния в КМ требуется немного больше — скалярное произведение*, а в КМ ещё и кое-что насчёт сходимости последовательностей векторов. Но всё сразу это вам не понадобится, да и, можно повториться, это вводится всегда с нуля.

* Ну почти. В строгом исполнении это несколько другое.

Vechnolos в сообщении #1091268 писал(а):

Может быть и суперпозиция состояний: когда линейная комбинация сразу двух (и более) векторов определяют состояние системы. То есть система находится сразу в нескольких состояниях одновременно.

Вот тут как раз векторы должны быть ближе к телу. Линейная комбинация каких-то векторов — это ведь вектор не хуже остальных. Его можно представлять линейными комбинациями много каких, и разного числа, векторов, так что «в нескольких состояниях одновременно» — это немного не тот образ. Состояние одно, а вот какой линейной комбинацией его можно представить, играет роль не всегда (а при измерении, например).

Ой, в сравнении с предыдущим ответом мой может замутить немного картину…

[Munin]

arseniiv в сообщении #1091282 писал(а):

Ой, в сравнении с предыдущим ответом мой может замутить немного картину…

Не-не, продолжайте. Я с функаном хуже знаком.

[arseniiv]

Вот как раз я себе освещать функан позволять здесь не стану. Это опасно!

К предыдущему про суперпозиции: это можно проиллюстрировать поляризациями света. Есть базис из двух линейных и базис из двух круговых. При этом они оба выглядят довольно естественно. Притом, кстати, можно выбирать направления линейных вообще по-всякому…

[Vechnolos]

arseniiv в сообщении #1091282 писал(а):

Ну вот, а я думал, что всё лучше.

Чем богаты

Munin в сообщении #1091279 писал(а):

Может, вам не хватает прочитанного перед этим ЛЛ-1?

Да, наверное, потому как я больше половины не понял в вашем сообщении.

Может действительно обратиться к классической механике? Я читал что там тоже используются подобные методы (гамильтониан, конфигурационное пространство). Там, наверное, все это будет проще понять.

Ну или в математику углубляться, потому как многие вещи я не понимаю. Или то и другое.

[arseniiv]

Кстати, поляризации ведь прямо здесь пощупать можно. Вращение единичного вектора с постоянной частотой в комплексной плоскости — это функция $t\mapsto e^{\pm i\omega t}$, где круговую частоту $\omega$ можно принять здесь единичной. Задача: представить в виде линейной комбинации двух таких функций (с плюсом и минусом) функции $t\mapsto e^{i\varphi}\cos\omega t$; $\varphi$ — это угол наклона прямой, в которой происходят задаваемые последней функцией гармонические колебания.

[Munin]

Vechnolos в сообщении #1091290 писал(а):

Да, наверное, потому как я больше половины не понял в вашем сообщении. :-)

Тут ЛЛ-1 ни при чём. ЛЛ-1 нужен, чтобы понимать, что такое конфигурационное пространство.

И разумеется, функция гамильтона вводится сначала в классической механике, а потом уже переносится в квантовую как оператор - гамильтониан.

----------------

В детстве я прочитал про аналогию между векторами и функциями в книжке
Маделунг. Математический аппарат физики.
Но хотя у меня с ней связаны тёплые воспоминания, советовать я её не буду :-) Сейчас я понимаю, что книжка очень устаревшая, к тому же ужасная готическими буквами :-)

-- 16.01.2016 21:23:24 --

А впрочем... кое-какие абзацы оттуда хоть сейчас сюда в тему цитируй...

[Viktor92]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1091298 писал(а):

В детстве я прочитал про аналогию между векторами и функциями в книжке
Маделунг. Математический аппарат физики.

Я себе , недавно как раз себе такую заказал (настоящую бумажную ), в электронном виде по содержанию понравилась, такой настольный справочник практически по всему мат. аппарату, который может понадобиться.

[Vechnolos]

Почитал я книжки что вы мне насоветовали и, кажется, у меня в мозгу что-то щелкнуло. И теперь как-то все стало раскладываться по полочкам.

Как я понял на текущий момент (надеюсь поправите, если я опять ошибаюсь).

Вообще есть 2 способа изучения квантовой физики: через координатное представление и через символьное представление. Я раньше этого не понимал и искренне удивлялся тому, что в ряде учебников по квантовой механике про вектора не упоминается ни разу. Это сбивало с толку. К тому же я валил оба этих представления в одну кучу что еще более запутывало меня.

Координатное представление — это когда в волновую функцию подставляешь максимальный набор одновременно измеримых величин (все координаты всех частиц или все проекции импульсов на оси всех частиц) и в результате получаешь комплексную амплитуду. Квадрат этой амплитуды даст вероятность того, что при измерении мы обнаружим квантовую систему именно с этим подставленным набором величин.

Здесь уместно говорить о конфигурационном пространстве. Сколько максимально измеримых величин в наборе, столько и осей в этом конфигурационном пространстве. Именно поэтому, чем больше частиц в системе, тем больше величин в наборе, тем многомернее конфигурационное пространство.

Символьное представление — это уже обращение с векторами в гильбертовом пространстве. Каждое чистое состояние квантовой системы обозначается каким-то базисным вектором. Весь набор возможных чистых состояний представляет базис гильбертово пространства. Именно поэтому мерность гильбертова пространства совпадает с числом чистых состояний квантовой системы.

Смешанные состояния (хотя впрочем и чистые тоже) квантовой системы записывают с помощью матриц-столбцов. Где значения каждой строки — это умножение на соответствующий базисный вектор (сорри за корявость, как это по русски то сказать? С терминологией у меня беда...).

Munin в сообщении #1091161 писал(а):

Ещё, пожалуй, нужно уловить важную аналогию между функциями и векторами - такую, которая позволяет обращаться с функциями как с "бесконечномерными векторами".

Кажется я и это понял.

Это был намек, что функции и вектора ведут себя похоже.

Сложение коммутативно и там, и там: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ и $\psi_a + \psi_b = \psi_b + \psi_a$
Сложение ассоциативно: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{k}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{k}$ и $\psi_a + (\psi_b + \psi_k) = (\psi_a + \psi_b) + \psi_k$
Нулевая функция и нулевой вектор: $\vec{a} + 0 = \vec{a}$ и $\psi_a + 0 = \psi_a$
И еще много чего общего (умножение ассоциативно, дистрибутивные законы и т.д.)...


Сразу вопрос, зачем учат сразу двум методам? Разве одного мало?

[Munin]

Vechnolos в сообщении #1093109 писал(а):

Вообще есть 2 способа изучения квантовой физики: через координатное представление и через символьное представление. Я раньше этого не понимал и искренне удивлялся тому, что в ряде учебников по квантовой механике про вектора не упоминается ни разу. Это сбивало с толку.

Для начала, есть "учебники квантовой механики", и учебники квантовой механики. Их нельзя путать.

В "учебниках квантовой механики" рассказано о всяких квантовых чудесах. Но как предугадать результат конкретного опыта - не объяснено. Рассказаны несколько формул и соотношений. Но как рассчитать что-то настоящее - не объяснено.

В учебниках квантовой механики дан полный математический аппарат, позволяющий от постановки задачи перейти к результату.

Так что... давайте перечисляйте конкретно, что вы читали, и что вы называете здесь "учебниками квантовой механики".

Vechnolos в сообщении #1093109 писал(а):

это когда в волновую функцию подставляешь максимальный набор одновременно измеримых величин

Боюсь, вы неверно понимаете смысл слова "подставлять". Волновая функция задана на конфигурационном пространстве, и вы по сути описываете взятие значения функции в точке.

Vechnolos в сообщении #1093109 писал(а):

Символьное представление — это уже обращение с векторами в гильбертовом пространстве.

"Символьным представлением" это никто не называет.

Исторически квантовая механика возникла в двух вариантах: волновая механика (Шрёдингера) и матричная механика (Гейзенберга). Сейчас это единый матаппарат, в котором применяют:
- разные представления: координатное, импульсное, энергетическое, любое другое удобное;
- представления Шрёдингера и Гейзенберга по удобству;
- функциональную или "векторную" бра-кет нотацию;
- немного дублирующие друг друга термины, например, "волновая функция" = "вектор состояния".

Не надо думать, что только в координатном представлении квантовое состояние описывается функцией, а в других - только какими-то абстрактными векторами в гильбертовом пространстве. Функция - это и есть вектор в гильбертовом пространстве. И в обратную сторону, такие векторы могут быть изображены функциями, причём разными способами. Например, в импульсном представлении состояние опять же описывается функцией, функцией на пространстве обобщённых импульсов.

Vechnolos в сообщении #1093109 писал(а):

Смешанные состояния (хотя впрочем и чистые тоже) квантовой системы записывают с помощью матриц-столбцов.

Здесь опять путаница. Слово "смесь", "смешанный" относится к более сложной концепции, и его нельзя применять впустую, это термин. А здесь надо говорить про чистые состояния и суперпозиции.

И наконец, принято говорить "вектор-столбец", понимая под ним матрицу размера $n\times 1.$

Vechnolos в сообщении #1093109 писал(а):

Сразу вопрос, зачем учат сразу двум методам? Разве одного мало? :?:

Во-первых, между ними есть некоторые различия. Особенно они связаны с бесконечномерностью пространства функций.

Во-вторых, исторически сложилось несколько разных нотаций, и нет причин полностью всё заменять на какую-то одну. Иногда удобней одна, иногда другая.

Так что, лучше изучать всё-таки и то и другое, и при этом - явно для себя понимать параллели. Уметь переводить с одного языка на другой. Но помнить об осторожности.

[Vechnolos]

Munin в сообщении #1093140 писал(а):

Так что... давайте перечисляйте конкретно, что вы читали, и что вы называете здесь "учебниками квантовой механики".

Да их много как-то по моим ощущениям. Взять, например, Ю. М. Ципенюк Квантовая микро- и макрофизика. В книге написано что Ципенюк преподает в МИФИ. Сама книга 2006 года издания. Я, конечно, ее далеко не до конца дочитал, но я там не встретил ни одного упоминания о векторах и матрицах.

Munin в сообщении #1093140 писал(а):

Боюсь, вы неверно понимаете смысл слова "подставлять". Волновая функция задана на конфигурационном пространстве, и вы по сути описываете взятие значения функции в точке.

Именно это я и хотел сказать. Просто я не говорю "взятие значения функции в точке". Если б я так говорил! С терминологией у меня беда...