Магический квадрат (по мотивам задачи А. Шаповалова)

[Ktina]

Клетчатая таблица $3\times 3$ называется магическим квадратом, если все числа в ней различны и суммы чисел во всех строках и столбцах одинаковы.

а) Существует ли магический квадрат, заполненный числами, обратными нечётным натуральным?
б) А обратными натуральным числам, дающим остаток 1009 при делении на 2016?
в) А обратными простым?
г) А обратными квадратам натуральных чисел?
д) А этот пункт - эвристический. Придумайте красивое подмножество натуральных чисел, из обратных которым можно составить магический квадрат.

[12d3]

На пункт "в" ответ - нет. Для простых не может быть такого, что сумма двух элементов квадрата равна сумме двух других элементов квадрата, а такие равенства требуются для существования квадрата.

[Ktina]

12d3
Довольно любопытен пункт г), на мой взгляд.

[Shadow]

Ktina в сообщении #1093264 писал(а):

12d3
Довольно любопытен пункт г), на мой взгляд.

Конечно существует.

(Оффтоп)

Например:

а11=1/276676469675317019754018975727782589512406164618731870011270378269248386078336836113720168101225
а12=1/939901387623173719925799400489971019578321289732734630005958712951056669943968769404090002500
а13=1/2792665699433962684618111982315510066661677316349896273838446528957917282030326811506056010000
а21=1/3685455279142260398705016908363503957929800860561971750967456915008747774223939927363560010000
а22=1/5646458564802388158245285218934338561477676828953711632883068944270375226088506859463676900025
а23=1/1023334599995813255571737174916183403100382779475397560128068180443188895376626751457184002500
а31=1/869047328437003179353534376622921836980098222136900016766159030359158161939543947059796002500
а32=1/5417324023391889661398211243730761005073422036943311328491628651862854886742806656584264010000
а33=1/11067058787012680790160759029111303580496246584749274800450815130769935443133473444548806724049

[Ktina]

Shadow
А как Вы его нашли?

[Shadow]

Конечно, речь идет о нахождении магического квадрата из квадратов рациональных чисел. Если умножить на НОК знаменателей получится маг. квадрат из целых квадратов, если разделить на НОК числителей - из обратных. Задача наверное легкая, возможно я перемудрил, но искал магических квадратов в таком виде:

$$\begin{tabular}{|l|l|l|} \hline & &\\ $a^2-t$ & $b^2$ & $c^2+t$\\ & &\\ \hline & &\\ $c^2$ & $a^2+t$ & $b^2-t$\\ & &\\ \hline & &\\ $b^2+t$ & $c^2-t$ & $a^2$\\ & &\\ \hline \end{tabular}$$

где $t$- рациональная константа. Необходимое условие:
$\begin{cases} a^2-t=u^2 \\ a^2+t=v^2 \end{cases}$

$a=\dfrac{m^2+t}{2m}=\dfrac{n^2-t}{2n}$

Уравнение $\dfrac{m^2+t}{m}=\dfrac{n^2-t}{n}$ сводится к:

$n^2=\dfrac{t(2x^2+3x+1)}{x}$, или, к нахожению рациональных точек на кривой $y^2=tx(x+1)(2x+1)$, причем $t$ - удобно выбирается нами.

Тогда $a=\dfrac{y^2-tx^2}{2xy}$

Нам нужны три точки для определения $a,b,c$. И все.

Я выбрал $t=6$ (а надо было $24$). Первая точка $(1;6)$. Красивых не искал - удваивал: $\left(\dfrac{1}{48};\dfrac{35}{96}\right),\;\left(\dfrac{1324801}{235200};\dfrac{1726556399}{32928000}\right)$

Тоесть, существует бесконечно много таких маг. квадратов из рац. квадратов даже в выбранном виде, даже при конкретном $t$.

[Ktina]

Shadow
Спасибо!