Парадокс в физической системе

[kavict]

Изучая свойства т.наз. системы сжатых капель, пришел к одному парадоксу, причину которого не могу понять.

Система сжатых капель - это множество одинаковых сферических капель жидкости, не обладающей смачиванием (поэтому не сливающихся друг с другом), подвергнутое внешнему сферически симметричному сжатию. В таких условиях все капли плотно сжаты, деформированы, и каждая из них, достаточно удаленная от края, представляет собой скругленный ромбододекаэдр.

Если внутрь этой системы поместить два достаточно больших одинаковых жестких шара, то они так исказят структуру системы и изменят давления в каплях, что на каждый из шаров будет действовать результирующая сила. Если шары расположены далеко друг от друга, то эти силы будут сближать их, а если близко - отталкивать. В конечном итоге шары установятся на некотором расстоянии друг от друга, находясь в устойчивом равновесии. Т.е. на одинаковые шары всегда действуют одинаковые по величине силы, одинаково зависящие от расстояния между центрами тел. Все вроде бы понятно.

Парадокс появляется, если в систему поместить шары разного размера. В этом случае численное моделирование показывает, что силы, действующие на шары, по-разному зависят от расстояния между ними. Получается, что когда шары находятся далеко, на них действуют сближающие силы, но разные по величине. Когда шары сблизятся на некоторое расстояние, то тут и начинается парадокс - у большего шара направление силы меняется на обратное, и он начинает уходить от второго, а второй (меньший) шар продолжает как-бы притягиваться к первому и догонять его. Такого, как мне кажется, быть не может, какое-то вечное движение.

Может быть это ошибка моделирования, или я чего-то не учел?
Прошу высказать свое мнение.

[svv]

Приблизьте немного больший шар (1) к меньшему (2). Посмотрите, на сколько изменится потенциальная энергия системы.
Верните назад.
Приблизьте на столько же меньший шар (2) к большему (1). Посмотрите, на сколько изменится потенциальная энергия системы.
Верните назад.

Изменилась ли $U$ оба раза на одну величину?
$\bullet$ Если да, потенциальная энергия прошла проверку на корректность, а вот с вычислением сил у Вас что-то не в порядке — они должны быть связаны с $U$ по формулам
$\mathbf F_1=-\frac{\partial U(\mathbf r_1, \mathbf r_2)}{\partial \mathbf r_1}$
$\mathbf F_2=-\frac{\partial U(\mathbf r_1, \mathbf r_2)}{\partial \mathbf r_2}$
$\bullet$ Если величины разные, потенциальная энергия системы у Вас почему-то зависит не только от расстояния между ними, но и от их положения в (вероятно, бесконечной и однородной) системе капель. Нет трансляционной инвариантности, а должна быть.

Конечно, в отсутствие однородности возможно нарушение $\mathbf F_1+\mathbf F_2=0$ — это может выглядеть так, как будто пена из капель стремится выплюнуть оба шара в одном направлении.

[kavict]

svv в сообщении #1092639 писал(а):

Приблизьте немного больший шар (1) к меньшему (2). Посмотрите, на сколько изменится потенциальная энергия системы.
Верните назад.
Приблизьте на столько же меньший шар (2) к большему (1). Посмотрите, на сколько изменится потенциальная энергия системы.
Верните назад.
...

Спасибо, обязательно проверю, но на это нужно время.

svv в сообщении #1092639 писал(а):

...

Конечно, в отсутствие однородности возможно нарушение $\mathbf F_1+\mathbf F_2=0$ — это может выглядеть так, как будто пена из капель стремится выплюнуть оба шара в одном направлении.

Значит такое возможно?

[svv]

kavict в сообщении #1092670 писал(а):

Значит такое возможно?

Конечно! Я же могу выплюнуть одновременно вишнёвую и абрикосовую косточку, а кто-то может подумать, что система из двух косточек самоускоряется. (Это, честное слово, не шутка, просто наглядное объяснение.) Ясно, что в Вашей системе такое возможно тогда, когда суммарная сила, действующая со стороны шаров на среду (или наоборот), не равна нулю.

Но при некоторых предположениях можно доказать, что силы должны быть противоположны. Представьте, что потенциальная энергия системы зависит только от радиус-векторов шаров $\mathbf r_1, \mathbf r_2$ и, более того, только от их разности. Тогда, двигая систему из двух шаров, но так, чтобы $\mathbf r_2-\mathbf r_1$ сохранялась, мы увидим, что $U$ не меняется.

Пусть оба радиус-вектора зависят от некоторого параметра $\lambda$, так, что $\mathbf r_2-\mathbf r_1$ сохраняется. Тогда
$\frac{dU(\mathbf r_1, \mathbf r_2)}{d\lambda}=\frac{\partial U}{\partial \mathbf r_1}\frac {d\mathbf r_1}{d\lambda}+\frac{\partial U}{\partial \mathbf r_2}\frac {d\mathbf r_2}{d\lambda}=0$
Из $\frac {d}{d\lambda}(\mathbf r_2-\mathbf r_1)=0$ следует $\frac {d\mathbf r_2}{d\lambda}=\frac {d\mathbf r_1}{d\lambda}$, поэтому
$\frac{dU(\mathbf r_1, \mathbf r_2)}{d\lambda}=(\frac{\partial U}{\partial \mathbf r_1}+\frac{\partial U}{\partial \mathbf r_2})\frac {d\mathbf r_1}{d\lambda}=0$
Так как производную $\frac {d\mathbf r_1}{d\lambda}$ можно сделать произвольной, а выражение в скобках от неё не зависит, оно равно нулю:
$\frac{\partial U}{\partial \mathbf r_1}+\frac{\partial U}{\partial \mathbf r_2}=0$,
откуда
$\mathbf F_1+\mathbf F_2=0$

[DimaM]

kavict
А граничные условия в расчетах какие?

[kavict]

Что в данном случае Вы понимаете под граничными условиями?

[DimaM]

kavict в сообщении #1092915 писал(а):

Что в данном случае Вы понимаете под граничными условиями?

Что происходит на границе расчетной области.

[kavict]

Система принимается бесконечной.

[arseniiv]

Это как?

[Pphantom]

kavict в сообщении #1092974 писал(а):

Система принимается бесконечной.

Судя по первому сообщению темы, Вы проводили численное моделирование. Как Вы это делали?

[Munin]

Ну как, как, взял бесконечный компьютер...

[Aritaborian]

Позаимствовал у покойного Алана Тьюринга?

[Munin]

Нет, тут быстродействие побольше должно быть: на один квант времени моделирования приходится бесконечно много вычислений.

[DimaM]

kavict в сообщении #1092974 писал(а):

Система принимается бесконечной.

Имеются в виду периодические граничные условия?

[kavict]

Pphantom в сообщении #1092993 писал(а):

Судя по первому сообщению темы, Вы проводили численное моделирование. Как Вы это делали?

1.Принял существование бесконечной системы сжатых капель.
2.Принял коэффициент поверхностного натяжения жидкости равным 1 и так же единичным - объем одной капли.
3.Ввел понятие степени сжатия системы как отношение диаметра недеформированной капли к минимальному радиусу кривизны ее свободной поверхности.
4.Нашел зависимость давления жидкости в капле от степени сжатия системы.
5.Рассмотрел, какие изменения в структуре системы произойдут, если в нее поместить сферическое жесткое (искажающее) тело.
6.Нашел форму капель, непосредственно окружающих искажающее тело (это первый слой) и в последующих слоях.
7.Нашел зависимость давления в капле от ее формы.
8.Принял степень сжатия системы равной 20 и дальнейшие расчеты делал только для этого случая.
9.Нашел зависимость среднего повышения давления в каплях каждого слоя от номера слоя и от размера искажающего тела.
10.Рассмотрел, какие изменения в форму капель первого слоя одного искажающего тела вносит помещение в систему второго искажающего тела.
11.Нашел, как изменяются давления в каплях первого слоя одного тела, когда в систему помещается второе тело.
12.Нашел, как зависит равнодействующая сил давления капель на тело от размера и расстояния до него второго тела.
13.Построил зависимость силы, действующей со стороны системы на тело определенного размера от расстояния до него второго такого же тела.

Вкратце где-то так.