Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

commator в сообщении #1087955 писал(а):

полезно и так понимать:

$ \left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace = \left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace. $

В музыкальном смысле правильнее понимать так:

$\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace =\begin{matrix} \left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace\\ \cup\\ \left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace \end{matrix}$,

потому что объединение происходит в музыке вертикально; горизонтально происходит вытягивание/втягивание:

$\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace \supset\left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace \subset\left\lbrace\begin{matrix} \supset\iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace \supset$

$$\supset\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace \subset\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace. $$

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1088853 писал(а):

commator в сообщении #1088675 писал(а):

если бы предметом Вашего интереса был анализ музыкальных партитур

Свободный Художник в сообщении #1088820 писал(а):

Именно это предметом моего интереса и было (если Вы помните): http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 28&page=21

Тогда удивительно, что Вы сразу не увидели практической пользы того, что мне необходимо потребовалось для детемперации сразу после того, как я начал её практиковать с доступным мне постоянством.

Практическую пользу я увидел в некоторых построениях Левитана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/3.html
и в частично обсуждавшихся уже выше построениях Уибберли. А также в общем духе стиля Чинквеченто:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/6.html
(к которому принадлежали, в частности, и работы Царлино).

-- Пн янв 11, 2016 23:32:40 --

commator в сообщении #1088853 писал(а):

Сколько лет с Вами идёт обсуждение, столько лет нет ощущения, что Вас музыкальная сторона захватывает больше математической. У меня наооборот. Может быть поэтому наше собеседование длится не первый год.

А вот для Платона эти вещи были неразрывными:
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/6/1/4.html

-- Пн янв 11, 2016 23:54:22 --

С точки зрения этого гармонического дуализма можно заметить, что в кольце $\overline R$ можно ввести не только операцию $\bullet$ "сложения дробей": $\dfrac{a}{x} \bullet \dfrac{b}{y} = \dfrac{ay + bx}{xy}$
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2/5/4.html
(сотношение (4) у Куроша),
но также и операцию $\circ$ "ко-сложения дробей": $\dfrac{x}{a} \circ \dfrac{y}{b} = \dfrac{xy}{ay + bx}$,
превратив, таким образом, кольцо $\overline R$ в "трикольцо" -- некоторую математическую систему с тремя основными операциями $\cdot$, $\bullet$ и $\circ$, причем операция $\circ$ будет обладать по отношению к операции $\cdot$ теми же самыми свойствами, что и операция $\bullet$. В частности, будут выполняться законы дистрибутивности.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1090015 писал(а):

в кольце $\overline R$ можно ввести не только операцию $\bullet$ "сложения дробей": $\dfrac{a}{x} \bullet \dfrac{b}{y} = \dfrac{ay + bx}{xy}$
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2/5/4.html
(сотношение (4) у Куроша),
но также и операцию $\circ$ "ко-сложения дробей": $\dfrac{x}{a} \circ \dfrac{y}{b} = \dfrac{xy}{ay + bx}$

Можно, только для музыкальных делишек есть удивительно полезная и одна, без всяких ко, операция, отбивающая охоту даже смотреть в сторону других:

commator в Сети писал(а):

буду считать медиантами, как уже научился:

$\left\lbrace\text{b/a, d/c}\right\rbrace\to$ (b+d)/(a+c).

Ваше подтрунивание

Математик в Сети писал(а):

Арнольд где-то приводил такой то ли анекдот, то ли быль. Передаю по памяти, возможно, что не совсем точно.
Как то американского студента попросили сложить две дроби. А он взял и сложил по раздельности их числители и знаменатели.
Из чего Арнольд умозаключал: “Это же надо, каких идиотов готовит американская система образования”.

лишь добавило привлекательности этой операции, идиотски восхитительной по удобству быстрых обер/унтер прикидок в уме.

В конце 70-х мне об этой операции поведал во время курения в тамбуре поезда один пожилой бухгалтер (с орденом Ленина на груди, между прочим); тогда ещё было неясно, как это мне пригодится и кануло, чтобы ко времени всплыть в Сетевом океане, не без Вашей помощи.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1090015 писал(а):

commator в сообщении #1088853 писал(а):

Сколько лет с Вами идёт обсуждение, столько лет нет ощущения, что Вас музыкальная сторона захватывает больше математической. У меня наооборот. Может быть поэтому наше собеседование длится не первый год.

А вот для Платона эти вещи были неразрывными:
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/6/1/4.html

Вчера, 11.01.2012, как-то не вполне ожиданно, мне открылось давно искомое знание: похоже ясно теперь, как именно бросание пар костей платоновой (!) огранки превращать в многоголосные MIDI модели звучаний ДГП (Двойственной Гармонии Провидения) для слуховых оценок. Готовлюсь вскоре бросать самую грандиозную пару разноцветных платоновых тел из всех возможных:



Результаты в виде десятиголосных партитур, сопровождаемых MID и MP3 файлами, будут предъявлены.

Если предварительные результаты окажутся достойными пристального внимания, не вижу существенных препятствий для предельно допустимой автоматизации их массовой добычи из недр ПО Sibelius 6.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1090068 писал(а):

... для музыкальных делишек есть удивительно полезная и одна, без всяких ко, операция, отбивающая охоту даже смотреть в сторону других:

commator в Сети писал(а):

буду считать медиантами, как уже научился:

$\left\lbrace\text{b/a, d/c}\right\rbrace\to$ (b+d)/(a+c).

Ваше подтрунивание

Математик в Сети писал(а):

Арнольд где-то приводил такой то ли анекдот, то ли быль. Передаю по памяти, возможно, что не совсем точно.
Как то американского студента попросили сложить две дроби. А он взял и сложил по раздельности их числители и знаменатели.
Из чего Арнольд умозаключал: “Это же надо, каких идиотов готовит американская система образования”.

лишь добавило привлекательности этой операции, идиотски восхитительной по удобству быстрых обер/унтер прикидок в уме.

В конце 70-х мне об этой операции поведал во время курения в тамбуре поезда один пожилой бухгалтер (с орденом Ленина на груди, между прочим); тогда ещё было неясно, как это мне пригодится и кануло, чтобы ко времени всплыть в Сетевом океане, не без Вашей помощи.

Не знаю, почему Вам так нравится одна лишь только операция сложения векторов (в данном случае -- векторов с целочисленными координатами). Почему Вы ее так выпячиваете. Думается, что она должна работать в "команде". Для достижения общекомандного результата.
Три вводимые мною операции $\bullet$, $\cdot$ и $\circ$ можно естественным образом поставить в соответствие с тремя средними из так называемого "самого древнего сохранившегося греческого математического текста":
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html

-- Вт янв 12, 2016 23:41:28 --

Свободный Художник в сообщении #1090015 писал(а):

С точки зрения этого гармонического дуализма можно заметить, что в кольце $\overline R$ можно ввести не только операцию $\bullet$ "сложения дробей": $\dfrac{a}{x} \bullet \dfrac{b}{y} = \dfrac{ay + bx}{xy}$
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2/5/4.html
(сотношение (4) у Куроша),
но также и операцию $\circ$ "ко-сложения дробей": $\dfrac{x}{a} \circ \dfrac{y}{b} = \dfrac{xy}{ay + bx}$,
превратив, таким образом, кольцо $\overline R$ в "трикольцо" -- некоторую математическую систему с тремя основными операциями $\cdot$, $\bullet$ и $\circ$, причем операция $\circ$ будет обладать по отношению к операции $\cdot$ теми же самыми свойствами, что и операция $\bullet$. В частности, будут выполняться законы дистрибутивности.

Доказательство того, что ко-сложение $\circ$ и умножение $\cdot$ связаны в $\overline R$ законом дистрибутивности:
$\left(\dfrac{x}{a} \cdot \dfrac{z}{c}\right) \circ \left(\dfrac{y}{b} \cdot \dfrac{z}{c}\right) = \dfrac{xz}{ac} \circ \dfrac{yz}{bc}$
$\dfrac{xz}{ac} \circ \dfrac{yz}{bc} = \dfrac{xyz^2}{xzbc + acyz}$
$\dfrac{xyz^2}{xzbc + acyz} = \dfrac{xyz}{xbc + acy}$
$\dfrac{xyz}{xbc + acy} = \left(\dfrac{xy}{ay + bx}\right) \cdot \dfrac{z}{c}$
$\left(\dfrac{xy}{ay + bx}\right) \cdot \dfrac{z}{c} = \left(\dfrac{x}{a} \circ \dfrac{y}{b}\right) \cdot \dfrac{z}{c}$
Просто хладнокровно записываем последовательность соответствующих "переписывающих соотношений", как к тому призывает Стюарт:
http://www.px-pict.com/9/6/6/6/6.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1090248 писал(а):

Не знаю, почему Вам так нравится одна лишь только операция сложения векторов (в данном случае -- векторов с целочисленными координатами). Почему Вы ее так выпячиваете.

Случилось так, что арифметическая медианта ко мне очень непринуждённо впятилась, притом без всякой связи с векторами, коими я менее всего расположен пользоваться. Даже слово это меня до сих пор пугает почему-то. В школе были с ними какие-то неприятности... Потом и в институтские годы у меня сия абстракция стойко сопровождалась обструкцией когнитивности, а до вручения электромеханического димлома меня векторами этими пичкали как гречневой кашей в детском саду...

Связь-же с музтеоретической медиантой есть самое то, что не вредно и выпятить. В текущем обсуждении, во всяком случае.

[commator]

commator в сообщении #1090068 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1090015 писал(а):

в кольце $\overline R$ можно ввести не только операцию $\bullet$ "сложения дробей": $\dfrac{a}{x} \bullet \dfrac{b}{y} = \dfrac{ay + bx}{xy}$
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2/5/4.html
(сотношение (4) у Куроша),
но также и операцию $\circ$ "ко-сложения дробей": $\dfrac{x}{a} \circ \dfrac{y}{b} = \dfrac{xy}{ay + bx}$

Можно, только для музыкальных делишек есть удивительно полезная и одна, без всяких ко, операция, отбивающая охоту даже смотреть в сторону других:

commator в Сети писал(а):

буду считать медиантами, как уже научился:

$\left\lbrace\text{b/a, d/c}\right\rbrace\to$ (b+d)/(a+c).

Между тем операция медианты может быть представлена в виде произведения пары Вам любезных операций:

$\dfrac{b+d}{a+c}=\dfrac{b+d}{1}\cdot\dfrac{1}{a+c}=\left(\dfrac{b}{1} \bullet \dfrac{d}{1}\right) \cdot\left(\dfrac{1}{a} \circ \dfrac{1}{c}\right) $.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1090273 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1090248 писал(а):

Не знаю, почему Вам так нравится одна лишь только операция сложения векторов (в данном случае -- векторов с целочисленными координатами). Почему Вы ее так выпячиваете.

Случилось так, что арифметическая медианта ко мне очень непринуждённо впятилась, притом без всякой связи с векторами, коими я менее всего расположен пользоваться. Даже слово это меня до сих пор пугает почему-то. В школе были с ними какие-то неприятности... Потом и в институтские годы у меня сия абстракция стойко сопровождалась обструкцией когнитивности, а до вручения электромеханического димлома меня векторами этими пичкали как гречневой кашей в детском саду...
Связь-же с музтеоретической медиантой есть самое то, что не вредно и выпятить. В текущем обсуждении, во всяком случае.

К сожалению (а, может быть, и к счастью), уважаемый commator, Вы не вольнЫ здесь что-либо хотеть или не хотеть.
"Свита делает короля"© , а математическую систему делают свойства операций, определенных на ее множестве-носителе. И если свойства некоторой операции (например, называемой "медиантой") совпадают со свойствами операции сложения в векторном пространстве строк длины 2 над аддитивной полугруппой натуральных чисел:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/6/2/1.html
(пункт 2 "Основные определения" на указанной странице)
то, значит, мы и обязаны называть упорядоченные пары натуральных чисел (на которой определена наша бинарная операция) именно векторами. Почитайте у Гудстейна, почему мы обязаны называть некоторую шахматную фигуру королем:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1091084 писал(а):

К сожалению (а, может быть, и к счастью), уважаемый commator, Вы не вольнЫ здесь что-либо хотеть или не хотеть.
"Свита делает короля"© , а математическую систему делают свойства операций, определенных на ее множестве-носителе. И если свойства некоторой операции (например, называемой "медиантой") совпадают со свойствами операции сложения в векторном пространстве строк длины 2 над аддитивной полугруппой натуральных чисел: http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/6/2/1.html
(пункт 2 "Основные определения" на указанной странице)
то, значит, мы и обязаны называть упорядоченные пары натуральных чисел (на которой определена наша бинарная операция) именно векторами.

Собственно в ручной сонантометрической практике нет нужды привлекать числа, поскольку вполне хватает только имён сонантов для всех операций переноса 12/24РДО музыки в системы ЧИ.

Когда пришло время пояснять всё такое другим, кто может быть заинтересован, пришлось дублировать сонанты числами не из-за необходимости, а потому, что пренебрегать в этом предмете числами не склонно большинство интересующихся, пока.

Босанке (русскоязычные переводчики исковеркали эту фамилию до Бозанкет), например, из-за подобных обстоятельств переписал один его отчёт в манере полутоновых вычислений, взамен первично логарифмической, которая ему-то была более удобной.

[commator]

commator в сообщении #1090203 писал(а):

Готовлюсь вскоре бросать самую грандиозную пару разноцветных платоновых тел из всех возможных:

commator в Сети писал(а):

с добычей в MS Exscell действительного провидения из компьютерных часов <...> осталось лишь сделать табличку, где после каждого пересчёта выпадет пара настоящих случайных сонантов для очередной ГП.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1090551 писал(а):

Между тем операция медианты может быть представлена в виде произведения пары Вам любезных операций:

$\dfrac{b+d}{a+c}=\dfrac{b+d}{1}\cdot\dfrac{1}{a+c}=\left(\dfrac{b}{1} \bullet \dfrac{d}{1}\right) \cdot\left(\dfrac{1}{a} \circ \dfrac{1}{c}\right) $.

Правильнее это соотношение надо было бы записать так:
$\dfrac{b}{a} \boxplus \dfrac{d}{c} = \left( VR\left(\dfrac{b}{a}\right) \bullet VR\left(\dfrac{d}{c}\right)\right) \otimes \left( HR\left(\dfrac{b}{a}\right) \circ HR\left(\dfrac{d}{c}\right)\right)$,
где символы всех входящих в него операций (за исключением унарных операций $VR$ и $HR$) объясняются здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html

-- Сб янв 16, 2016 23:50:55 --

Определение унарных операций $VR$ и $HR$:
$VR\left(\dfrac{m}{n}\right) = \dfrac{m}{1}$,
$HR\left(\dfrac{m}{n}\right) = \dfrac{1}{n}$.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1090068 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1090015 писал(а):

в кольце $\overline R$ можно ввести не только операцию $\bullet$ "сложения дробей": $\dfrac{a}{x} \bullet \dfrac{b}{y} = \dfrac{ay + bx}{xy}$
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2/5/4.html
(сотношение (4) у Куроша),
но также и операцию $\circ$ "ко-сложения дробей": $\dfrac{x}{a} \circ \dfrac{y}{b} = \dfrac{xy}{ay + bx}$

Можно, только для музыкальных делишек есть удивительно полезная и одна, без всяких ко, операция, отбивающая охоту даже смотреть в сторону других...

Вы же писали, что для Вас важна "основная теорема арифметики". Ее, однако, нельзя до конца понять без апелляции к аддитивным понятиям, как об этом написано, например, у Арнольда:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/7/13/103b.html
Учитывая, что в арифметике (положительных) рациональных чисел аддитивных понятий получается не одно, а два ($\bullet$ и $\circ$), причем абсолютно равноправных по отношению к мультипликативному понятию ($\cdot$), можно ожидать, что такая двойственность окажется каким-то образом полезной в контексте рассмотрений по "основной теореме арифметике". В принципе, эта идея реализована у Арнольда:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/7/13/104a.html

-- Вс янв 17, 2016 23:53:56 --

Желая представить это в удобном для себя виде, я хочу ввести следующие два дуальные между собой бинарные отношения на множестве положительных дробей (понимаемых как упорядоченные пары натуральных чисел). Бинарное отношение горизонтальной измеримости дробей:
$\dfrac{m}{N} \preccurlyeq \dfrac{M}{N} \quad iff \quad \dfrac{M}{N} = \underbrace{\dfrac{m}{N} \bullet \dfrac{m}{N} \bullet ... \bullet \dfrac{m}{N}}_{q \quad times}$

И бинарное отношение вертикальной измеримости дробей:
$\dfrac{M}{n} \succcurlyeq \dfrac{M}{N} \quad iff \quad \dfrac{M}{N} = \underbrace{\dfrac{M}{n} \circ \dfrac{M}{n} \circ ... \circ \dfrac{M}{n}}_{q \quad times}$

-- Вс янв 17, 2016 23:56:40 --

Вместо делимости будем говорить об измеримости. В духе замечания Мордухай-Болтовского:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/2/1.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1091606 писал(а):

Вы же писали, что для Вас важна "основная теорема арифметики".

Дело не во мне, разумеется, а в том, что основная теорема арифметики выразилась в тональных функциях теории музыки, которые оказались пригодными для описания существенной части слуховых ощущений.

Действительно важным является то, что основная теорема арифметики устойчиво ощущается здоровым человеческим слухом и участвует в осознавании логики существования и развития тональной музыки.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1091606 писал(а):

хочу ввести следующие два дуальные между собой бинарные отношения на множестве положительных дробей (понимаемых как упорядоченные пары натуральных чисел). Бинарное отношение горизонтальной измеримости дробей:
$\dfrac{m}{N} \preccurlyeq \dfrac{M}{N} \quad iff \quad \dfrac{M}{N} = \underbrace{\dfrac{m}{N} \bullet \dfrac{m}{N} \bullet ... \bullet \dfrac{m}{N}}_{q \quad times}$

И бинарное отношение вертикальной измеримости дробей:
$\dfrac{M}{n} \succcurlyeq \dfrac{M}{N} \quad iff \quad \dfrac{M}{N} = \underbrace{\dfrac{M}{n} \circ \dfrac{M}{n} \circ ... \circ \dfrac{M}{n}}_{q \quad times}$

В музыке по горизонтали измеряется время, по вертикали ― высота.

А у Вас?

[Свободный Художник]

Это нужно понимать в контексте. Я не спорю, что в музыке принято для временнОй оси использовать горизонтальную ось. Это соглашение принимается и у Д. Райта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/2.html
Однако с целью наибольшего удобства рассуждений о "гармоническом дуализме" я решил не жадничать и дать на звуко-высотность и интервало-широтность не одну, а две взаимно-ортогональные оси. О чем честно и сообщил во вводном параграфе:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/1.html
Значит, всего осей будет три. Временно абстрагируясь от временнОй оси, получаем две оси, одна из которых (на время этого абстрагирования) будет условно считаться горизонтальной, а другая -- вертикальной.
А вот Lindley M. и Turner-Smith R. в своих построениях обходятся одной осью для звуко-высотности и интервало-широкости:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/15/1.html
Абстрагируясь от рассмотрения временнОй оси, они могут направлять эту ось хоть по горизонтали, хоть по вертикали.

-- Ср янв 20, 2016 23:30:41 --

Если считать желательным иметь геометрическую интерпретацию для положительных рациональных и иррациональных чисел, которые нам нужны для моделирования (в согласи с Д. Райтом):
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html
рациональных и иррациональных музыкальных интервалов, то для этого имеются различные возможности. Одна из них указана у Кокстера:
http://www.px-pict.com/10/3/4/14/9/1.html
В его построениях ось рациональных музыкальных интервалов направлена по горизонтали.

-- Ср янв 20, 2016 23:45:39 --

В принятом мною подходе рациональные и иррациональные числа геометрически интерпретируются рациональными и иррациональными лучами на плоской квадратной целочисленной решетке точек. Причем рациональные лучи последовательно строятся при помощи двух дуальных друг к другу преобразований сдвига $V$ и $H$ из рационального луча, отвечающего интервалу унисона:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 50&page=13
(постинг номер 126 на указанной странице)