Исследовать на сходимость последовательность операторов

[Ivan_K]

Помогите исследовать такую последовательность операторов ${A}_{n}:{L}_{2}\left(R \right)\rightarrow {L}_{2}\left(R \right)$,
$\left({A}_{n}f \right)\left(x \right)=\int_{n}^{n+1}f(x+t)dt$

[Brukvalub]

Начните с замены $t=u+n$ в интеграле $\int_{n}^{n+1}f(x+t)dt$

[Ivan_K]

попробовал, только не понял для чего это, не выходит

[ewert]

Смотря о какой сходимости речь.

Если о сильной, то она довольно очевидно к чему (т.е. очевидна сначала на "хороших" функциях, ну а потом, чуть поразмыслив, и вообще).

После этого легко понять, и что будет относительно сходимости по норме.

[Ivan_K]

Есть три вида сходимости: равномерная, сильная(она же по норме) и слабая. Мое доказательство сводится к сходимости к тождественному нулю, вроде только слабо и по норме, но все равно не получается добить.

[ewert]

Ivan_K в сообщении #1092685 писал(а):

Есть три вида сходимости: равномерная, сильная(она же по норме)

Это вопрос терминологии. Я под "сильной" сходимостью привык понимать сходимость на каждом элементе; ну а "по норме" (операторной) -- это уже следующий этап.

Ivan_K в сообщении #1092685 писал(а):

Мое доказательство сводится к сходимости к тождественному нулю, вроде только слабо и по норме, но все равно не получается добить.

Ну т.е. Вы, допустим, доказали, что (в Вашей терминологии) сходимость если и может быть, то только к нулю. Остался пустячок: сходятся ли тоже к нулю и нормы этих операторов.

[Brukvalub]

Можно подойти к этой задаче и так: рассмотреть каждый оператор как свертку подынтегральной функции с характеристической функцией отрезка, преобразованием Фурье перевести эту свертку в произведение, тогда все сведется к изучению последовательности операторов умножения функций на преобразования Фурье хар. функций отрезков, а уж тут все просто.

[ewert]

Предыдущее Ваше предложение было удачнее. Оно, в сущности, сводится к тому, что каждый оператор -- это результат умножения некоторого фиксированного оператора усреднения (с отражением, но это не важно) на оператор сдвига на $n$. Оператор сдвига слабо сходится к нулю, и этого достаточно.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1092921 писал(а):

Предыдущее Ваше предложение было удачнее.

Но оно не дало эффекта. Поэтому сегодня на лыжной прогулке в лесу я вдруг стал думать, как изменить ситуацию, и мне пришел в голову второй ход. Может, новый взгляд поможет ТС сдвинуть задачу с места...

[Ivan_K]

Спасибо, я постараюсь сделать

[Ivan_K]

Я посидел, и таки не смог окончательно решить и понять к чему сходится. Если кто сможет объяснить, буду очень благодарен! Спасибо!

[DeBill]

Ivan_K
Ваше утверждение

Ivan_K в сообщении #1101533 писал(а):

не смог окончательно решить и понять к чему сходится.

противоречит Вашему утверждению о

Ivan_K в сообщении #1092685 писал(а):

сходимости к тождественному нулю, вроде только слабо и по норме

, которое, конечно, верно.
А проблема, как я понимаю, в том, что у Вас есть проблемы со счетом нормы оператора.
Об этом: общий подход (как правило, приводящий к цели) состоит в оценке (часто помогает неравенство Коши-Буняковского - в гильбертовых пространствах), и примере, показывающем точность оценки (а для этого надо просто вспомнить, когда в КБ есть быть равенство...)