Ускорение движения тени

[Charlz_Klug]

Задача
В открытом море на экваторе возвышается высокая вертикальная скала. Как будет двигаться по этой скале тень, отбрасываемая сферической поверхностью Земли при заходе Солнца? Найти ускорение такого движения. Радиус Земли $R=6400\text{км}$.

Моё решение:
Пусть Солнце вращается вокруг Земли. Тогда получаем такой чертёж:

Период вращения Солнца вокруг Земли равен $T=24\text{часа}$. Угловая скорость равна $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Тогда угол $\angle BOA=\varphi$ изменяется от $t$ по закону $\varphi=\omega t$. Из прямоугольного треугольника $\Delta OBA$ получаем: $\frac{OB}{OA}=\cos{\varphi} \Rightarrow \frac{R}{R+h(t)}=\cos{\omega t}$, где $R$ - радиус Земли, $h$ - расстояние пройденное тенью. Тогда, $\frac{R+h(t)}{R}=\frac{1}{\cos{\omega t}} \Rightarrow 1+\frac{h(t)}{R}=\frac{1}{\cos{\omega t}} \Rightarrow$$\frac{h(t)}{R}=\frac{1}{\cos{\omega t}}-1 \Rightarrow h(t)=R(\frac{1}{\cos{\omega t}}-1) \Rightarrow \upsilon(t)=\dot{h(t)}=\frac{R \omega \sin{\omega t}}{\cos^2{\omega t}} \Rightarrow a(t)=\dot{\upsilon(t)}=R \omega \frac{\cos{\omega t} \cdot \omega \cos^2{\omega t}+2 \omega \cos{\omega t} \sin^2{\omega t}}{\cos^4{\omega t}}=R \omega^2 \frac{\cos^3{\omega t}+2 \cos{\omega t} \sin^2{\omega t}}{\cos^4{\omega t}}=R \omega^2 \cos{\omega t} \frac{\cos^2{\omega t}+2 \sin^2{\omega t}}{\cos^4{\omega t}}=$
$R\omega^2 \cos{\omega t} \frac{1+\sin^2{\omega t}}{\cos^4{\omega t}}=R \omega^2 \frac{1+\sin^2{\omega t}}{\cos^3{\omega t}}=\frac{4 \pi^2 R}{T^2} \cdot \frac{1+\sin^2{\frac{2 \pi t}{T}}}{\cos^3{\frac{2 \pi t}{T}}}$
В задачнике ответом является $a=\frac{4 \pi^2 R}{T^2}$. Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь?

[Mihr]

Charlz_Klug,
может быть, не годится сама Ваша картинка? Ведь Солнце так далеко, что приходящие от него лучи практически параллельны. А у Вас направления от крошечного Солнца на центр Земли и на её поверхность заметно расходятся. Попробуйте сделать адекватную картинку, - возможно, всё окажется по-другому. Это первое, что приходит в голову.

[Pphantom]

Charlz_Klug в сообщении #1090727 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь?

Нигде, просто задача криво сформулирована. Очевидно, что искомое ускорение как функция $a(t)$ принципиально не может быть константой: тень будет подниматься сначала с некоторой конечной скоростью, а потом, через 6 часов после захода Солнца, высота тени станет бесконечно большой. Ну и, если сравнить Ваш результат и ответ из задачника, можно заметить, что первый превращается во второй при $t=0$ - это мгновенное значение ускорения в момент захода.

Кстати, с астрономической точки зрения задача тоже некорректна. Уход Солнца под горизонт строго по вертикали (точнее, по вертикальной дуге большого круга) возможен (с некоторой разумной точностью) только на экваторе Земли и только в дни равноденствий. Авторы задачи, похоже, предполагали это "само собой разумеющимся", а на самом деле задача несколько сложнее.

-- 14.01.2016, 23:12 --

Mihr в сообщении #1090747 писал(а):

может быть, не годится сама Ваша картинка? Ведь Солнце так далеко, что приходящие от него лучи практически параллельны. А у Вас направления от крошечного Солнца на центр Земли и на её поверхность заметно расходятся. Попробуйте сделать адекватную картинку, - возможно, всё окажется по-другому. Это первое, что приходит в голову.

Нет, тут все совершенно правильно. Все-таки не Солнце вращается вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца. Попробуйте представить крутящуюся в параллельном пучке лучей Солнца Землю - получится именно то, что изображено на картинке (ну, конечно, кроме маленького Солнца на конечном расстоянии, которое несет только художественную нагрузку).

[OlegCh]

Pphantom в сообщении #1090748 писал(а):

это мгновенное значение ускорения в момент захода.

Ну, справедливости ради, можно отметить, что в вопросе задачи (Как будет двигаться по этой скале тень, отбрасываемая сферической поверхностью Земли при заходе Солнца?) эта мысль присутствует. Хотя и, конечно, несколько закамуфлирована. Но такие "ограничения" характерны для многих задач из задачников.

[Charlz_Klug]

OlegCh в сообщении #1090908 писал(а):

Ну, справедливости ради, можно отметить, что в вопросе задачи (Как будет двигаться по этой скале тень, отбрасываемая сферической поверхностью Земли при заходе Солнца?) эта мысль присутствует.

Действительно, проглядел. Всем спасибо за ответы!