2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка почти периодов для почти периодических функций
Сообщение14.01.2016, 03:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Множество $A \subset \mathbb{R}$ называется относительно плотным, если существует такое $L>0,$ что для всех $a \in \mathbb{R}$ выполнено $[a;a+L] \cap A \not= \varnothing.$

Функция $f \in C(\mathbb{R})$ называется почти периодической в смысле Бора если для всякого $\varepsilon>0$ существует относительно плотное множество $A=A(\varepsilon)$, такое что $|f(x+\tau(\varepsilon))-f(x)|<\varepsilon$ для всех $x \in \mathbb{R}$ и $\tau(\varepsilon) \in A$.

Для заданного $\varepsilon>0$ числа $\tau(\varepsilon)$ называются $\varepsilon-$почти периодами функции $f.$

Зафиксируем почти периодическую функцию $f$. Меня интересуют теоретические способы для заданного $\varepsilon>0$ оценить(сверху или снизу) число $L(\varepsilon)$ в определении относительно плотного множества $A(\varepsilon).$ Хотя бы в простых (но все же не периодических) случаях. Для примера можно взять $f(x) = \sin x + \sin (x\sqrt2).$ Тогда вопрос становится таким: оценить наименьшее натуральное $m,$ такое что дробная часть числа $\frac{m}{\sqrt{2}}$ меньше заданного $\varepsilon,$ т.е. $|\frac{m}{\sqrt{2}} \mod 1| < \varepsilon.$

Есть ли какие-нибудь развитые подходы на эту тему? В крайнем случае подойдут численные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка почти периодов для почти периодических функций
Сообщение14.01.2016, 09:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Подходящие дроби же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка почти периодов для почти периодических функций
Сообщение14.01.2016, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
ИСН в сообщении #1090542 писал(а):
Подходящие дроби же.

Спасибо. Посмотрю. Видимо наконец-то придется разобраться с цепными дробями :-)

Пока что наивные численные эксперименты показывают, что для функций типа $f(x)=\sin(x)+\sin(\sqrt{2}x)$ величина $L(2^{-T}) = Ce^{T}+o(T).$ Меня вообще интересует вопрос можно ли добиться того, чтобы $L(2^{-T}) = Ce^{T^2} + o(T^2),$ но уже для п.п. функции двух переменных, например для $f(x,y) = \sin(\sqrt{2}x+\sqrt{3}y) + \cos(\sqrt{5}x+\sqrt{7}y).$ Здесь уже наивные алгоритмы не представляют возможности быстро проверить гипотезу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group