Ортогональная система координат с симметричными углами

[evgeniy]

Я давно хотел построить систему координат. чтобы углы входили симметричным образом. Удалось это сделать, но зависимость от бесконечности радиуса не является спадающей как $\frac{1}{R}$
Формулы преобразования от криволинейных координат к декартовым имеют вид
$x_l=R \varphi_l,l=1,…,3$
При этом имеем соотношение
$\sum_{l=1}^{3}\varphi_l^2=1$
Считаем все углы независимыми, а потом в окончательных формулах наложим связи. Метрический тензор равен
$\begin{array}{cccc} 1 & R& R & R\\ R & R^2 & 0 & 0\\ R & 0 & R^2 & 0\\ R & 0 & 0 & R^2\\ \end{array}$
Метрический интервал равен
$ds^2=dR^2+R^2\sum_{l=1}^{3}(d\varphi_l)^2+2RdR\sum_{l=1}^{3}d\varphi_l=\\ -2dR^2+R^2\sum_{l=1}^{3}(d(\varphi_l+\ln R))^2=-2(dR^2-R^2\sum_{l=1}^{3}d\psi_l^2); \psi_l=(\varphi_l+\ln R)/\sqrt{2}$
Контр вариантная компонента метрического тензора равна
$g^{ik}=(1,-1/R^2, -1/R^2, -1/R^2) $
Определитель этого метрического тензора равен $|-g|=R^6$
При этом оператор Лапласа запишется в виде
$\frac{1}{R^3}\frac{\partial }{\partial R}R^3 \frac{\partial}{\partial R}-\frac{1}{R^2}\sum_{l=1}^{3}\frac{\partial^2 }{\partisl \psi_l^2}$
При этом имеем связь между аргументами
$\sum_{l=1}^{3}(\psi_l\times \sqrt{2}-\ln R)^2=1$
Хотелось бы получить критику данной системы координат.

[provincialka]

$x_l=R \varphi_l,l=1,…,3$
То есть в качестве "углов" вы взяли направляющие косинусы, что ли?

(Оффтоп)

Запись $1,…,3$ впечатляет отдельно! Много же там кроется за многотониями!

[evgeniy]

Не совсем так, вспомогательные углы, если их можно так назвать, равны $\varphi_l=\frac{x_l}{\sqrt{\sum_{k=1}^3 x_k^2}}$. Эти "углы" не имеют физического смысла, как периодические. Используемые в операторе Лапласа "углы" равны $\psi_l=(\varphi_l+\ln R)/\sqrt{2}$. Они тоже не периодические, но оператор Лапласа содержит их как периодические и если выбрать решение $Q(R)\exp(i p_l \psi_l)$, то они будут периодические с периодом $2\pi/p_l$.

(Оффтоп)

запись, на которую Вы обратили внимание, тривиальна, просто индекс пробегает значения 1,2, 3

[Lia]

evgeniy в сообщении #1090365 писал(а):

вспомогательные углы, если их можно так назвать, равны $\varphi_l=\frac{x_l}{\sqrt{\sum_{k=1}^3 x_k^2}}$

Ну не углы это, не углы. Направляющие косинусы. Функции некоторых углов.

[evgeniy]

В оператор Лапласа они входят в комбинации как "углы" $\frac{1}{R^2}\frac{\partial^2 }{\partial \psi_l^2}$ . Поэтому я и называю их "углами".

[shwedka]

evgeniy в сообщении #1090357 писал(а):

Метрический тензор равен
$\begin{array}{cccc} 1 & R& R & R\\ R & R^2 & 0 & 0\\ R & 0 & R^2 & 0\\ R & 0 & 0 & R^2\\ \end{array}$

До этого места - терпимо.
Однако, далее, Вы скрываете тот факт, что вышеприведенная матрица - вырожденная, ее определитель равен нулю. Поэтому все дальнейшие действия, которые требуют, чтобы определитель метрического тензора не равнялся нулю, у вас необоснованы.
Я не стану искать ошибку в вашей замене переменных, которая, якобы, диагонализует метрический тензор, ищите сами. Однако есть неоспоримый медицинский факт: замена переменных НЕ МОЖЕТ превратить вырожденную матрицу в невырожденную. Никогда.

[evgeniy]

Вы ошиблись, матрица не вырожденная. Разлагаем по последнему столбцу элемент $g_{14}$ определяет определитель алгебраического дополнения $R^5$, итого получаем вклад в определитель $-R^6$. Элемент $g_{44}$ определяет вклад $R^4-R^4-R^4$итого вклад в определитель $-R^6$. Определитель равен $-2R^6$.
Этот результат совпадает с вычисление определителя у метрического интервала, если учесть множитель у $\psi_l$.

[shwedka]

Да, Вы правы, я обсчиталась с определителем. Может быть, что-то и верно. Однако, последние строки вызывают подозрение. Как, технически, Вы вычисляете вторые производные по $\psi_l$ при условии связи?
Вот, продемонстрируйте, что функция
$3(x^2y+y^2z)-(y^3+z^3)$ - гармоническая -- но только используя Ваши координаты!!

[evgeniy]

Я рассматриваю углы как независимые, а в окончательных формулах накладываю условие связи.
Над примером надо подумать, сразу не получается.

[evgeniy]

Данное преобразование координат делает пространство псевдодекартовым. Определитель, составленный из компонент метрического тензора отрицателен. Поэтому геометрия этого пространства не евклидова. Поэтому имеются гармонические функции, отличные от гармонических функций евклидова пространства. Можно назвать их псевдо гармонические функции. Гармонические функции евклидова пространства не удовлетворяют не евклидовой геометрии. И предлагаемый оператор Лапласа надо называть псевдо оператором Лапласа. Если определять гармонические функции с помощью этого псевдо оператора Лапласа, то получим псевдо гармонические функции.
Если взять отдельно отрицательную часть этого оператора, без зависимости от радиуса, т.е. евклидову часть, то она является гармонической и данный пример удовлетворяет этому уравнению.

-- Чт янв 14, 2016 18:29:58 --

$3x^2 y+3y^2 z-(y^3+z^3)=3(\psi_1-\ln R)^2(\psi_2-\ln R)+3(\psi_2-\ln R)^2(\psi_3 -\ln R)-[(\psi_2-\ln R)^3+(\psi_3-\ln R)^3]=P/R^3$
Эта функция удовлетворяет уравнению $\sum_{k=1}^3 \frac{\partial^2 P}{\partial \psi_k^2}=0$

[shwedka]

Все-таки не верю я Вам.
Напишите подробно, как вы считали метрический тензор.

[evgeniy]

Вы были правы, я ошибся, но это только улучшает результат.
Метрический тензор равен
$g_{00}=\sum_{l=1}^3\frac{\partial R\varphi_l}{\partial R}\frac{\partial R\varphi_l}{\partial R}=\sum_{l=1}^3 (\varphi_l)^2=1$
$g_{0 k}=g_{k 0}=\sum_{l=1}^3\frac{\partial R\varphi_l}{\partial R}\frac{\partial R\varphi_l}{\partial \varphi_k}=R\varphi_k$
В случае $k,n=1,2,3$
$g_{k n}=g_{n k}=\sum_{l=1}^3\frac{\partial R\varphi_l}{\partial \varphi_n}\frac{\partial R\varphi_l}{\partial \varphi_k}=R^2 \delta_{l n}\delta_{l k}=R^2 \delta_{n k}$
Подсчитаны нулевая строка и нулевой столбец и компоненты с индексом 1,2,3.
Определитель этой матрицы равен нулю $|g|=R^6-R^6\sum_{l=1}^3 (\varphi_l)^2=0$
Метрический интервал равен
$ds^2=dR^2+R^2\sum_{l=1}^{3}(d\varphi_l)^2+2RdR\sum_{l=1}^{3}\varphi_l d\varphi_l=\\ =dR^2+R^2\sum_{l=1}^3(d\varphi_l)^2\eqno(1)$
Вторая сумма равна нулю так как $\sum_{l=1}^{3}(\varphi_l)^2=1$
Но имеем
$ds^2=R^2\sum_{l=1}^3[\varphi_l^2 d\ln R^2+2d\ln R \varphi_l d\varphi_l+d\varphi_l^2]=\\ =R^2[\sum_{l=1}^3 (\varphi_l d\ln R+d\varphi_l)^2]=\\ =R^2\sum_{l=1}^3 \varphi_l^2 d(\ln R+\ln \varphi_l)^2\eqno(2)$
Так как метрический интервал имеет три члена. а не четыре, определитель этого преобразования равен нулю. Но определитель преобразования (1) не равен нулю, а равен $R^6$
Далее контравариантная компонента метрического тензора из формулы (1) равна
$g^{ii}=(1,\frac{1}{R^2},\frac{1}{R^2},\frac{1}{R^2})$
Но так как определитель этого преобразования равен нулю, не получается результат с примером гармонической функции. Чтобы результат получился, надо считать радиус внешним параметром, тогда справедливо (2)
$ds^2=R^2\sum_{l=1}^3 d\varphi_l^2 $
Причем получим не вырожденное преобразование с произвольными $\varphi_l,l=1,2,3$
и постоянным радиусом, но к сожалению это тривиальный результат.

[evgeniy]

Картина преобразования прояснилась в предыдущем посте. Определитель, составленный из компонент метрического тензора равен нулю. Но как быть с полученным выражением для метрического интервала
$ds^2=dR^2+R^2\sum_{l=1}^3 (d\varphi_l)^2$
оно получено из точных вычислений и имеет метрический тензор $g_{ik}=(1,R^2,R^2,R^2)\delta_{i k}$
При этом оно не правильно, так как оператор Лапласа для приведенного Вами примера гармонической функции в этих координатах не равен нулю. Равна нулю только угловая часть приведенного примера. т.е. $\sum_{k=1}^3 \frac{\partial^2 P}{\partial \varphi_k^2}$, где $P(x,y,z)=3x^2y+3y^2z-(y^3+z^3)$.
Мне бы хотелось докопаться почему. Может быть потому, что пример функция трех переменных, а метрический тензор функция 4 переменных. Причем в полученном метрическом тензоре, наложена связь $\sum_{l=1}^3 (\varphi_l)^2=1$. Как учесть эту связь, ведь она не проявляется при вычислении гармонической функции. Если положить $R=\operatorname{const}$, то все станет на свои места. Нет связи между углами, метрический интервал состоит из трех членов, и определитель из метрического интервала с четырьмя членами равен нулю. Но как учесть связь между углами в данном метрическом интервале. Вот задача на этот момент. для меня по крайней мере.
Метрический интервал с двумя углами, при наложенной связи равен
$ds^2=dR^2+R^2(d\varphi_1^2 \frac{1-\varphi_2^2}{1-\varphi_1^2-\varphi_2^2}+d\varphi_2^2 \frac{1-\varphi_1^2}{1-\varphi_1^2-\varphi_2^2}+2\frac{\varphi_1 \varphi_2d\varphi_1 d\varphi_2}{1-\varphi_1^2-\varphi_2^2})$
Но вычисление оператора Лапласа для приведенного примера сложно.

[evgeniy]

Метрический интервал с двумя углами, при наложенной связи равен
$\sum_{l=1}^3 (d\varphi_l)^2=d\varphi_1^2 \frac{1-\varphi_2^2}{1-\varphi_1^2-\varphi_2^2}+d\varphi_2^2 \frac{1-\varphi_1^2}{1-\varphi_1^2-\varphi_2^2}+2\frac{\varphi_1 \varphi_2d\varphi_1 d\varphi_2}{1-\varphi_1^2-\varphi_2^2} $
Возникает вопрос, можно ли использовать простую формулу с тремя углами для вычисления угловой части оператора Лапласа. С разу скажу, что использование этой формулы приводит к противоречию. и надо использовать формулу с двумя углами. Для доказательства этого вычислим контравариантную компоненту метрический тензора с двумя углами. Определитель, составленный из ковариантных компонент метрического тензора с двумя углами равен
$|h_{i k}|=\frac{1}{1-\varphi_1^2-\varphi_2^2}$
контравариантные компоненты метрического тензора равны
$h^{l l}=1-\varphi_l^2$
$h^{12}=h^{21}=\varphi_1 \varphi_2$
Следовательно вторая производная угловой части оператора Лапласа равна
$h^{i k}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_l \partial \varphi_k}+... $
Проверим получится ли коэффициент $h^{i k}$ у вычисленной формулы с тремя углами
Формула для решения с тремя углами следующая
$\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}+\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_2^2}+ (\frac{\partial \varphi_1}{\partial \varphi_3}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}+ \frac{\partial \varphi_2}{\partial \varphi_3}\frac{\partial }{\partial \varphi_2}) (\frac{\partial \varphi_1}{\partial \varphi_3}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}+ \frac{\partial \varphi_2}{\partial \varphi_3}\frac{\partial }{\partial \varphi_2})$
Вычислим компоненты $\frac{\partial \varphi_1}{\partial \varphi_3},\frac{\partial \varphi_2}{\partial \varphi_3}$
$\varphi_3 d\varphi_3=-\varphi_1 d\varphi_1-\varphi_2 d\varphi_2$
откуда имеем
$\frac{\partial \varphi_l}{\partial \varphi_3}=-\frac{\varphi_3}{\varphi_l}$
При этом коэффициент при второй производной равен
$[1+(\frac{\varphi_3}{\varphi_1})^2]\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}= \frac{1-\varphi_2^2}{\varphi_1^2}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}$
что явно не совпадает с величиной $h^{11}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}=(1-\varphi_1^2)\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}$
Т.е. все усилия пошли в пустую, получить простого выражения для оператора Лапласа не удалось. Благодарю shwedka за правильные вопросы, и извиняюсь перед аудиторией за потраченное время.